Як вирішувати логарифмічне нерівність

Як вирішувати логарифмічне нерівність

Логарифмічні нерівності — це нерівності, що містять невідоме під знаком логарифма і (або) у його. При вирішенні логарифмічних нерівностей часто використовують такі твердження.

Вам знадобиться

Уміння розв’язувати системи і сукупності нерівностей

Інструкція

  1. Якщо основа логарифма а> 0, то нерівність logaF (x)> logaG (x) рівносильне системі нерівностей F (x)> G (x), F (x)> 0, G (x)> 0. Розглянемо приклад: lg (2x ^ 2 +4 x +10)> lg (x ^ 2-4x +3). Перейдемо в равносильной системі нерівностей: 2x ^ 2 +4 x +10> x ^ 2-4x +3, 2x ^ 2 +4 x +10> 0, x ^ 2-4x +3> 0. Вирішивши цю систему, одержуємо рішення даного нерівності: х належить проміжкам (-нескінченності, -7), (-1,1), (3, + нескінченності).
  2. Якщо основа логарифма знаходиться в інтервалі від 0 до 1, то нерівність logaF (x)> logaG (x) рівносильне системі нерівностей F (x) 0, G (x)> 0. Наприклад, log (x +25) по підставі 0.5> log (5x-10) по підставі 0,5. Перейдемо в равносильной системі нерівностей: x +25 <8x-10, x +25> 0, 8x-10> 0. При вирішенні даної системи нерівностей, одержуємо x> 5, що і буде рішенням початкового нерівності.
  3. Якщо невідоме стоїть і під знаком логарифма і в його підставі, то рівняння logF (x) по підставі h (x)> logG (x) по підставі h (x) рівносильне сукупності систем: 1 система — h (x)> 1 , F (x)> G (x), F (x)> 0, G (x)> 0, 2 — 00, G (x)> 0. Наприклад, log (5-x) по підставі (x +2) / (x-3)> log (4-x) по підставі (x +2). Зробимо рівносильний перехід до сукупності систем нерівностей: 1 система — (x +2) / (x-3)> 1, x +2> 4-x, x +2> 0, 4-x> 0; 2 система — 0 < ; (x +2) / (x-3) <1, x +2 <4-x, x +2> 0, 4-x> 0. Вирішуючи цю сукупність систем, отримуємо 3
  4. Деякі логарифмічні рівняння можливо вирішити за допомогою заміни змінної. Наприклад, (lgX) ^ 2 + lgX-2> = 0. Позначимо lgX = t, тоді отримуємо рівняння t ^ 2 + t-2> = 0, вирішуючи яке отримуємо t <=- 2 або t> = 1. Таким чином отримуємо сукупність нерівностей lgX <= 2, lgX> = 1. Вирішуємо їх, x> = 10 ^ (-2)? 00.

Зверніть увагу

У 1-3 твердженнях можуть стояти будь-які знаки (> =,

Корисні поради

Логарифм з основою 10, називається десятковим і позначається lgX.

Логарифм з основою 2,7 називається натуральним і позначається lnX.