Як вирішувати матричне рівняння

Як вирішувати матричне рівняння

Вирішити матричне рівняння зовсім не так складно, як може здатися на перший погляд. Для того щоб впоратися з цим завданням, вам необхідно вміти перемножувати і знаходити зворотні матриці. Тому для початку варто згадати, як це робиться.

Вам знадобиться

- Ручка;
- Папір.

Інструкція

  1. Таке перемножування називають «рядок на стовпець».

    Множення матриці А на В визначено в разі рівності числа стовпців А числу рядків В. Операція множення позначається як і звичайне арифметичне дію — знаком «×» або просто АВ. Якщо С = АВ, то її елементи будуть перемножуються за наступним правилом (див. рис.1.):
  2. Для кожної невиродженої квадратної матриці А (визначник | A | не дорівнює нулю) існує єдина обернена матриця, що позначається А ^ -1,

    така, що А ^ -1 × А = А А ^ (-1) = Е.

    Матриця Е називається одиничною, вона складається з одиниць на головній діагоналі, решта елементи — нулі. А ^ (-1) обчислюється за наступним правилом (див. рис.2.):
  3. Тут Аij — алгебраїчне доповнення відповідного елемента визначника матриці А. Аij отримують видаленням з визначника | A | i-рядка та j-стовпця, на перетині яких лежить а (ij), і множенням знову отриманого визначника на (-1) ^ (i + j).

    Фактично приєднана матриця — це транспонована матриця з алгебраїчних доповнень елементів матриці А. Транспонування — це заміна стовпців матриці на рядки (і навпаки). А транспонована позначається А ^ Т.
  4. Приклад 1. Знайти обернену матрицю для A ^ (-1) (див. рис.3).
  5. Матричні рівняння історично з’явилися у зв’язку з необхідністю отримання компактних алгоритмів розв’язання систем лінійних рівнянь. Вид такої системи (див. рис.4.)
  6. Якщо ввести поняття матриці коефіцієнтів цієї системи A = (a (ij)), i = 1,2, …, n; j = 1,2, …, n матриці-стовпця змінних Х = (x1, x2, …, xn) ^ T і матриці стовпця правих частин B = (b1, b2, …, bn) ^ Т, то компактно в матричної формі система рівнянь запишеться у вигляді АХ = В. Подальше рішення полягає в множенні цього рівняння на зворотну матрицю А ^ (-1) зліва. Отримуємо (АА ^ (-1)) Х = А ^ (-1) В, ЕХ = А ^ (-1) У, Х = А ^ (-1) В.

    Приклад 2. Використовуючи матрицю коефіцієнтів А попереднього прикладу № 1, знайти рішення матричного рівняння, в якому В = (6, 12, 0) ^ T. Тоді Х = А ^ (-1) В. А ^ (-1) вже знайдено в попередньому прикладі (див. рис.5).
  7. Або х1 = 6, х2 = 0, х3 = 0.

    У запропонованій вище системі АХ = В матриці Х і В можуть бути не тільки матрицями-стовпцями, а й мають велику розмірність. Наприклад, (див. рис.6)