Як вирішувати матрицю методом гауса

Як вирішувати матрицю методом гауса

Рішення матриці в класичному варіанті знаходиться за допомогою методу Гаусса. Даний метод заснований на послідовному виключенні невідомих змінних. Рішення виконується для розширеної матриці, тобто з включеним стовпцем вільних членів. При цьому коефіцієнти, які становлять матрицю, в результаті проведених перетворень утворюють ступінчасту або трикутну матрицю. Щодо головної діагоналі всі коефіцієнти матриці, крім вільних членів, повинні бути приведені до нуля.

Інструкція

  1. Визначте спільність системи рівнянь. Для цього порахуйте ранг основної матриці А, тобто без шпальти вільних членів. Потім додайте стовпець вільних членів і обчисліть ранг вийшла розширеної матриці В. Ранг повинен бути відмінним від нуля, тоді система має рішення. При рівних значеннях рангів існує єдине рішення даної матриці.
  2. Наведіть розширену матрицю до вигляду, коли по головній діагоналі розташовуються одиниці, а нижче неї всі елементи матриці дорівнюють нулю. Для цього перший рядок матриці розділіть на її перший елемент так, щоб перший елемент головної діагоналі став дорівнює одиниці.
  3. Відніміть перший рядок від всіх нижніх рядків так, щоб у перовому стовпці всі нижні елементи звернулися в нуль. Для цього помножте спочатку перший рядок на перший елемент другого рядка і відніміть рядка. Потім аналогічно помножте перший рядок на перший елемент третього рядка і відніміть рядка. І так продовжуйте з усіма рядками матриці.
  4. Розділіть другий рядок на коефіцієнт у другому стовпці так, щоб наступний елемент головної діагоналі на другому рядку і в другому стовпці став дорівнює одиниці.
  5. Відніміть другий рядок від всіх нижніх рядків таким же чином, як описано вище. Всі нижчестоящі щодо другого рядка елементи повинні звернутися в нуль.
  6. Аналогічно проведіть освіта наступної одиниці на головній діагоналі у третій і наступних рядках і обнулення нижчестоящих коефіцієнтів матриці.
  7. Потім приведіть отриману трикутну матрицю до вигляду, коли елементи над головною діагоналлю також представляють собою нулі. Для цього відніміть останній рядок матриці з усіх вищих рядків. Домножайте на відповідний коефіцієнт і віднімайте стоки так, щоб звернулися в нуль елементи стовпця, де в поточному рядку є одиничка.
  8. Проведіть подібне віднімання всіх рядків в порядку знизу вгору, поки не обнуляться всі елементи вище головної діагоналі.
  9. Решта елементів у стовпці вільних членів і є вирішенням заданої матриці. Запишіть отримані значення.