Як вирішувати методом інтервалу

Як вирішувати методом інтервалу

Метод інтервалів — найважливіший метод вирішення раціональних нерівностей з однією змінною. Дозволяє значно спростити і прискорити вирішення завдання, а також оформити рішення компактно і стисло.

Інструкція

  1. Перенесіть все в ліву частину нерівності. Праворуч повинен залишитися нуль.
  2. Розкладіть ліву частину нерівності на множники (уявіть вираз у вигляді твори кількох дужок). Якщо це дріб, розкладіть на множники чисельник і знаменник. Якщо можливо, винесіть за дужки числовий множник, спростивши тим самим вираз. Це число можна з нерівності прибрати, тому що воно не впливає на рішення нерівності.
  3. Прирівняти кожен з множників нулю. У разі дробу прирівняти нулю кожний з множників у чисельнику і знаменнику. Знайдіть всі значення x, при якому будь-якої з множників звертається в нуль.
  4. Намалюйте числову пряму. Позначте на цій прямій знайдені точки. Якщо звертається в нуль множник знаменника, відзначте його як виколоти точку (порожнім кружечком). Ви отримали кілька інтервалів на прямій, обмежених цими точками. Крайні інтервали, обмежені точкою тільки з одного боку, йдуть у мінус нескінченність і плюс нескінченність, але їх теж обов’язково треба розглядати. Позначте інтервали дугами.
  5. Виберіть будь-яке значення x. Порахуйте значення виразу в лівій частині нерівності при цьому x (точніше, нас цікавить не саме значення виразу, а його знак — плюс або мінус). Зручно буває взяти x = 0.

    Якщо отримали позитивну величину, поставте над дугою, в інтервалі якої знаходиться дане значення x, знак «плюс». Якщо отримали від’ємне число, поставте над дугою знак «мінус».
  6. Знаки над іншими дугами ставляться за таким правилом.

    Якщо ступінь множника непарна, знаки чергуються. А якщо парна, знак залишається тим самим. Наприклад, якщо ви переходите через точку x = 1, а у вираженні присутній множник (x-1) (множник в першого ступеня), знак чергується. А якщо у виразі присутня множник (x-2) ^ 2, то при переході через точку x = 2 знак залишиться тим же.

    Розставте знаки над усіма дугами за цим правилом.
  7. Виберіть ті проміжки, які задовольняють нерівності. Наприклад, якщо нерівність> 0, виберіть всі дуги зі знаком «плюс», якщо <0, виберіть всі дуги зі знаком «мінус». У разі таких строгих нерівностей не включайте точки, при яких вираз в лівій частині звертається в нуль. У разі нестрогих нерівностей (менше або дорівнює нулю, більше або дорівнює нулю), включайте такі точки.
  8. Запишіть відповідь.

Корисні поради

З несуворими нерівностями потрібно бути особливо уважними. Може трапитися так, що два сусідніх проміжку, що мають однакові знаки, не задовольняють нерівності, але точка на їх стику дає нуль. Цю точку теж треба включити у відповідь. Укладачі завдань частенько «підловлювати» на цьому школярів.