Як вирішувати многочлени


 

Многочлен являє собою алгебраїчну суму творів чисел, змінних та їх ступенів. Перетворення многочленів зазвичай включає два види завдань. Вираз потрібно або спростити, або розкласти на множники, тобто представити його у вигляді добутку двох або декількох многочленів або одночлена і многочлена.


Інструкція

  1. Щоб спростити многочлен, приведіть подібні доданки. Приклад. Спростіть вираз 12ax ²-y ³-6ax ² +3 a ² x-5ax ² +2 y ³. Знайдіть одночлени з однаковою буквеної частиною. Складіть їх. Запишіть отриманий вираз: ax ² +3 a ² x + y ³. Ви спростили многочлен.
  2. У завданнях, які вимагають розкладання многочлена на множники, визначте загальний множник даного виразу. Для цього спочатку винесіть за дужки ті змінні, які входять до складу всіх членів вираження. Причому ці змінні повинні мати найменший показник. Потім обчисліть найбільший спільний дільник кожного з коефіцієнтів многочлена. Модуль отриманого числа буде коефіцієнтом загального множника.
  3. Приклад. Розкладіть на множники многочлен 5m ³-10m ² n ² +5 m². Винесіть за дужки m², т.к. змінна m входить в кожен член даного вираження і її найменший показник дорівнює двом. Обчисліть коефіцієнт загального множника. Він дорівнює п’яти. Таким чином, загальний множник даного виразу дорівнює 5m ². Звідси: 5m ³-10m ² n ² +5 m² = 5m ² (m-2n ² +1).
  4. Якщо вираз не має спільного множника, спробуйте розкласти його способом угруповання. Для цього об’єднайте в групи ті члени, у яких є спільні множники. Винесіть спільний множник кожної групи за дужки. Винесіть за дужки загальний множник у всіх утворилися груп.
  5. Приклад. Розкладіть на множники многочлен a ³-3a ² +4 a-12. Проведіть угруповання наступним чином: (a ³-3a ²) + (4a-12). Винесіть за дужку загальний множник a ² у першій групі і загальний множник 4 у другій групі. Звідси: a ² (a-3) +4 (a-3). Винесіть за дужки многочлен a-3, отримаєте: (a-3) (a ² +4). Отже, a ³-3a ² +4 a-12 = (a-3) (a ² +4).
  6. Деякі многочлени розкладаються на множники за допомогою формул скороченого множення. Для цього наведіть многочлен до потрібного виду способом угруповання або за допомогою винесення за дужки загального множника. Далі застосуєте відповідну формулу скороченого множення.
  7. Приклад. Розкладіть на множники многочлен 4x ²-m ² +2 mn-n ². Об’єднайте в дужки останні три члени, при цьому винесіть за дужки -1. Отримайте: 4x ² — (m²-2mn + n ²). Вираз в дужках можна представити у вигляді квадрата різниці. Звідси: (2x) ² — (m-n) ². Це є різниця квадратів, значить, можна записати: (2x-m + n) (2x + m + n). Таким чином, 4x ²-m ² +2 mn-n ² = (2x-m + n) (2x + m + n).
  8. Деякі многочлени можна розкласти на множники методом невизначених коефіцієнтів. Так, кожен многочлен третього ступеня можна представити у вигляді (y-t) (my ² + ny + k), де t, m, n, k — числові коефіцієнти. Отже, завдання зводиться до визначення значень цих коефіцієнтів. Це робиться, виходячи з даного рівності: (y-t) (my ² + ny + k) = my ³ + (n-mt) y ² + (k-nt) y-tk.
  9. Приклад. Розкладіть на множники многочлен 2a ³-a ²-7a +2. З другої частини формули для многочлена третього ступеня складіть рівності: m = 2; n-mt = -1; k-nt = -7;-tk = 2. Запишіть їх у вигляді системи рівнянь. Вирішити її. Ви знайдете значення t = 2; n = 3; k = -1. Підставте обчислені коефіцієнти в першу частину формули, отримаєте: 2a ³-a ²-7a +2 = (a-2) (2a ² +3 a-1).