Як вирішувати нерівність

Як вирішувати нерівність

Нерівності відрізняються від рівнянь не тільки знаком «більше» / «менше», що стоїть між виразами. Тут є свої методи і свої підводні камені.

Інструкція

  1. Нерівності мають як ряд унікальних особливостей, так і риси, схожі з рівняннями.

    Одна з основних відмінностей накладає якраз так знак «більше / менше». Це означає, що при необхідності помножити обидві частини на будь-яке вираження (наприклад, на знаменник), ми повинні чітко знати його знак (і, звичайно, той факт, що воно не дорівнює нулю). Зокрема, це потрібно враховувати при зведенні в квадрат — це ж теж множення.

    Подивимося на просто прикладі. Очевидно, що 3
  2. За винятком цього пункту, до певного моменту вирішуються нерівності так само, як і рівняння.

    Приведення до спільного знаменника, пошук виколотих точок, перенесення членів в ліву частину, пошук коріння і розкладання на множники.

    Ось. Дійшли до цього самого «певного моменту»: розкладання на множники. Далі шляхи розв’язання рівнянь і нерівностей розходяться.
  3. Будемо застосовувати для вирішення метод інтервалів.

    Малюємо числову вісь.

    На ній відзначаємо порожнім кружечком і підписуємо значення виколотих точок, а зафарбовані — невиколотих, і починаємо дізнаватися знак нерівності в кожній з отриманих областей. Для цього беремо будь-яку точку з цієї області (краще якусь зручну) і підставляємо в нерівність на місце x. У підсумку отримуємо деяке число. Залежно від його знака пишемо на числовій осі в даній галузі «+» або «-». Далі можна продовжити аналогічні дії для інших областей, а можна і схитрувати, так як є деякі закономірності для проставлення знаків у методі інтервалів: знаки областей чергуються при переході через наступну точку, якщо відповідний вираз із зазначеною на числовій осі точкою зустрічається в нерівності непарну кількість разів , і не змінюються при переході через цю точку, якщо парне.

    Вибираємо з усіх областей ті, чий знак відповідає нашому нерівності.
  4. У підсумку отримуємо сукупність, яка у відповіді записується як «ікс належить …» — На місці трьох крапок стоять всі підходящі області або точки. Виколоті точки на кінці області позначаються круглими дужками — вони не включаються у відповідь, невиколотие — квадратними, і вони включаються до відповіді. Одиночні точки позначаються фігурними дужками, а між областями і точками у відповіді, так як це сукупність, ставиться знак об’єднання («U»).

    У нерівності для двох змінних все аналогічно, просто виконується аналіз значень не на числовій осі, а на площині.