Як вирішувати подвійні інтеграли

Як вирішувати подвійні інтеграли

З курсу математичного аналізу відомо поняття подвійного інтеграла. Геометрично подвійний інтеграл являє собою обсяг циліндричного тіла на підставі D і обмеженого поверхнею z = f (x, y). За допомогою подвійних інтегралів можна розрахувати масу тонкої пластини із заданою щільністю, площа плоскої фігури, площа шматка поверхні, координати центру ваги однорідної пластини та інші величини.

Інструкція

  1. Рішення подвійних інтегралів можна звести до обчислення певних інтегралів.

    Якщо функція f (x, y) є замкнутою і безперервного в деякій області D, обмеженої лінією y = c і лінією x = d, при цьому c <d, а також функціями y = g (x) і y = z (x ), при цьому g (x), z (x) — неперервні на [c; d] і g (x) ≤ z (x) на цьому відрізку, то обчислити подвійний інтеграл можна за формулою, представленої на малюнку.
  2. Якщо функція f (x, y) є замкнутою і безперервного в деякій області D, обмеженої лінією y = c і лінією x = d, при цьому c <d, а також функціями y = g (x) і y = z (x ), при цьому g (x), z (x) — неперервні на [c; d] і g (x) = z (x) на цьому відрізку, то обчислити подвійний інтеграл можна за формулою, представленої на малюнку.
  3. Якщо необхідно обчислити подвійний інтеграл на більш складних областях D, то область D розбивається на частини, кожна з яких представляє собою область, представлену в пункті 1 або 2. Розраховується інтеграл на кожній з цих областей, отримані результати підсумовуються.