Як вирішувати похідні

Як вирішувати похідні

Похідна — це одне з найважливіших понять не тільки в математиці, а й у багатьох інших галузях знань. Вона характеризує швидкість зміни функції в заданий момент часу. З точки зору геометрії, похідна в деякій точці — це тангенс кута нахилу дотичної до цієї точки. Процес її знаходження називається диференціюванням, а зворотний — інтеграцією. Знаючи кілька нескладних правил, можна обчислювати похідні будь-яких функцій, що в свою чергу істотно полегшує життя і хімікам, і фізикам, і навіть мікробіологам.

Вам знадобиться

підручник з алгебри за 9 клас.

Інструкція

  1. Перше, що необхідно для диференціювання функцій — це знати основну таблицю похідних. Її можна знайти в будь-якому математичному довіднику.
  2. Для того щоб вирішувати завдання, пов’язані з перебуванням похідних, потрібно вивчити основні правила. Отже, припустимо, у нас є дві діфференцируєми функції u і v, і деяка постійна величина с.

    Тоді:

    Похідна від константи завжди дорівнює нулю: (с) ‘= 0;

    Константа завжди виноситься за знак похідної: (cu) ‘= cu’;

    При знаходженні похідною від суми двох функцій, необхідно просто їх по черзі продиференціювати, а результати скласти: (u + v) ‘= u’ + v ‘;

    При знаходженні похідною від твору двох функцій, необхідно похідну від першої функції помножити на другу функцію і додати похідну другої функції, помножену на першу функцію: (u * v) ‘= u’ * v + v ‘* u;

    Для того, щоб знайти похідну від приватного двох функцій необхідно, з твору похідної ділимо, помноженої на функцію дільника, відняти твір похідної дільника, помноженої на функцію діленого, і все це розділити на функцію дільника зведену в квадрат. (U / v) ‘= (u’ * v-v ‘* u) / v ^ 2;

    Якщо дана складна функція, то необхідно перемножити похідну від внутрішньої функції і похідну від зовнішньої. Нехай y = u (v (x)), тоді y ‘(x) = y’ (u) * v ‘(x).
  3. Використовуючи отримані вище знання, можна продиференціювати практично будь-яку функцію. Отже, розглянемо декілька прикладів:

    y = x ^ 4, y ‘= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

    y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 +6), y ‘= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 +6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));

    Також зустрічаються завдання на обчислення похідної в точці. Нехай задана функція y = e ^ (x ^ 2 +6 x +5), потрібно знайти значення функції в точці х = 1.

    1) Знайдіть похідну функції: y ‘= e ^ (x ^ 2-6x +5) * (2 * x +6).

    2) Обчисліть значення функції в заданій точці y ‘(1) = 8 * e ^ 0 = 8

Корисні поради

Вивчіть таблицю елементарних похідних. Це помітно заощадить час.