Як вирішувати показові нерівності

Як вирішувати показові нерівності

Нерівності, що містять змінні в показнику ступеня, в математиці називають показовими нерівностями. Найпростішим прикладом таких нерівностей є нерівності виду a ^ x> b або a ^ x

Інструкція

  1. Визначте вид нерівності. Після цього скористайтеся відповідним методом рішення. Нехай дано нерівність a ^ f (x)> b, де a> 0, a ≠ 1. Зверніть увагу на значення параметрів a і b. Якщо a> 1, b> 0, то рішенням будуть всі значення x з інтервалу (log [a] (b); + ∞). Якщо a> 0 і a <1, b> 0, то x ∈ (- ∞; log [a] (b)). А якщо a> 0, b <0, то x приймає будь-яке дійсне значення. Наприклад, 2 ^ x> 3, a = 2> 1, b = 3> 0, тоді x ∈ (log [2] (3); + ∞).
  2. Зверніть увагу таким же чином на значення параметрів для нерівності a ^ f (x) <b. При a> 1, b> 0 x приймає значення з інтервалу (- ∞; log [a] (b)). Якщо a> 0 і a <1, b> 0, то x ∈ (log [a] (b); + ∞). Нерівність не має рішення, якщо a> 0 і b <0. Наприклад, 2 ^ x <3. Тут a = 2> 1, b = 3> 0, тоді x ∈ (- ∞; log [2] (3)).
  3. Розв’яжіть нерівність f (x)> g (x), якщо дано показове нерівність a ^ f (x)> a ^ g (x) і a> 1. А якщо для даного нерівності a> 0 і a <1, то вирішите равносильное нерівність f (x) <g (x). Наприклад, 2 ^ x> 8. Тут a = 2> 1, f (x) = x, g (x) = 3. Тобто рішенням будуть все x> 3.
  4. Прологаріфміруйте обидві частини нерівності a ^ f (x)> b ^ g (x) по підставі a або b, враховуючи властивості показовою функції і логарифма. Тоді якщо a> 1, то вирішите нерівність f (x)> g (x) × log [a] (b). А якщо a> 0 і a <1, то знайдіть рішення нерівності f (x) <g (x) × log [a] (b). Наприклад, нехай дано нерівність 2 ^ x> 3 ^ (x-1), a = 2> 1. Прологаріфміруйте обидві частини за основою 2: log [2] (2 ^ x)> log [2] (3 ^ (x-1)). Використовуйте основні властивості логарифма. Виходить, x> (x-1) × log [2] (3), і рішенням нерівності буде x> log [2] (3) / (log [2] (3) -1).
  5. Вирішіть показове нерівність методом заміни змінної. Наприклад, нехай дано нерівність 4 ^ x +2> 3 × 2 ^ x. Зробіть заміну t = 2 ^ x. Тоді виходить нерівність t ^ 2 +2> 3 × t, а це рівнозначно t ^ 2-3 × t +2> 0. Рішення цієї нерівності t> 1, t <2. Поверніться до початкової змінної: x ^ 2> 1 і x ^ 2 <2 або x ^ 2> 2 ^ 0 і x ^ 2 <2 ^ 1. Застосуйте метод з кроку 3. Рішенням показового нерівності 4 ^ x +2> 3 × 2 ^ x буде інтервал (0; 1).

Зверніть увагу

Знак ^ позначає спорудження до рівня, а знак [] — підстава логарифма.