Як вирішувати показові рівняння

Як вирішувати показові рівняння

Показові рівняння — це рівняння, що містять невідоме у показники ступеня. Найпростіше показове рівняння виду а ^ х = b, де a> 0 і a не дорівнює 1. Якщо b

Вам знадобиться

вміння розв’язувати рівняння, логаріфміровать, вміння розкривати модуль

Інструкція

  1. Показові рівняння виду a ^ f (x) = a ^ g (x) рівносильні рівняння f (x) = g (x). Наприклад, якщо дано рівняння 2 ^ (3x +2) = 2 ^ (2x +1), то необхідно вирішувати рівняння 3x +2 = 2x +1 звідки х =- 1.
  2. Показові рівняння можна вирішити за допомогою методу введення нової змінної. Наприклад, вирішите рівняння 2 ^ 2 (x +1.5) +2 ^ (x +2) = 4.

    Перетворіть рівняння 2 ^ 2 (x +1.5) +2 ^ x +2 ^ 2-4 = 0, 2 ^ 2x * 8 +2 ^ x * 4-4 = 0, 2 ^ 2x * 2 +2 ^ x-1 = 0.

    Позначте 2 ^ x = y та отримайте рівняння 2y ^ 2 + y-1 = 0. Вирішивши квадратне рівняння, ви отримаєте y1 =- 1, y2 = 1 / 2. Якщо y1 =- 1, то рівняння 2 ^ x =- 1 не має рішень. Якщо y2 = 1 / 2, то, вирішивши рівняння 2 ^ x = 1 / 2, отримаєте х =- 1. Отже, вихідне рівняння 2 ^ 2 (x +1.5) +2 ^ (x +2) = 4 має один корінь х =- 1.
  3. Показові рівняння можна вирішувати за допомогою логарифмування. Наприклад, якщо є рівняння 2 ^ x = 5, то застосовуючи властивість логарифмів (а ^ logaX = X (X> 0)), рівняння можна записати у вигляді 2 ^ x = 2 ^ log5 по підставі 2. Таким чином x = log5 по підставі 2.
  4. Якщо в рівнянні в показники міститься тригонометрическая функція, то подібні рівняння вирішуються вищеописаними способами. Розглянемо приклад, 2 ^ sinx = 1 / 2 ^ (1 / 2). За допомогою способу логарифмування, розглянутого вище, дане рівняння приводиться до виду sinx = log1 / 2 ^ (1 / 2) за основою 2. Проведіть дії з логарифмом log1 / 2 ^ (1 / 2) = log2 ^ (-1 / 2) =- 1/2log2 по підставі 2, що дорівнює (-1 / 2) * 1 =- 1 / 2. Рівняння можна записати як sinх =- 1 / 2, вирішуючи дане тригонометричне рівняння, вийде, що х = (-1) ^ (n +1) * П / 6 + Пn, де n — натуральне число.
  5. Якщо в рівнянні в показники міститься модуль, подібні рівняння також вирішуються за допомогою способів, описаних вище. Наприклад, 3 ^ [x ^ 2-x] = 9. Наведіть всі члени рівняння до загального основи 3, отримаєте, 3 ^ [x ^ 2-x] = 3 ^ 2, що рівносильно рівнянню [x ^ 2-x] = 2, розкриваючи модуль, отримаєте два рівняння x ^ 2-x = 2 і x ^ 2-x =- 2, вирішуючи які, отримаєте x =- 1 і x = 2.