Як вирішувати проблему без х


 

При вирішенні диференціальних рівнянь не завжди явно доступний аргумент x (або час t в задачах фізичних). Тим не менше — це спрощений окремий випадок завдання диференціального рівняння, що часто сприяє спрощенню пошуку його інтеграла.



Інструкція


  1. Як вирішувати проблему без х

                  Розгляньте фізичну задачу, що приводить до диференціального рівняння, в якому відсутня аргумент t. Це завдання про коливання математичного маятника масою m, підвішеного на нитці довжиною r, розташованої у вертикальній площині. Потрібно знайти рівняння руху маятника, якщо в початковий момент маятник був нерухомий і відхилений від стану рівноваги на кут α. Силами опору слід нехтувати (див. рис. 1a).
  2. Рішення. Математичний маятник являє собою матеріальну точку, підвішену на невагомою і нерозтяжної нитки в точці О. На точку діють дві сили: сила тяжіння G = mg і сила натягу нитки N. Обидві ці сили лежать у вертикальній площині. Тому для вирішення задачі можна застосувати рівняння обертального руху точки навколо горизонтальної осі, що проходить через точку О. Рівняння обертального руху тіла має вигляд, наведений на рис. 1b. При цьому I — момент інерції матеріальної точки; j — кут повороту нитки разом з точкою, відлічуваний від вертикальної осі проти годинникової стрілки; M — момент сил, прикладених до матеріальної точки.
  3. Обчисліть ці величини. I = mr ^ 2, M = M (G) + M (N). Але M (N) = 0, так як лінія дії сили проходить через точку О. M (G) =-mgrsinj. Знак «-» означає, що момент сили спрямований в бік протилежний рухові. Підставте момент інерції і момент сили в рівняння руху та отримайте рівняння, відображене на рис. 1с. Скорочуючи масу, виникає співвідношення (див. рис. 1d). Тут немає аргументу t.
  4. У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку не має х і дозволене щодо старшої похідної y ^ (n) = f (y, y ‘, y», …, y ^ (n-1)). Для другого порядку це y» = f (y, y ‘). Вирішити його підстановкою y ‘= z = z (y). Так як для складної функції dz / dx = (dz / dy) (dy / dx), то y» = z’z. Це призведе до рівняння першого порядку z’z = f (y, z). Вирішити його будь-яким з відомих вам способів та отримайте z = φ (y, C1). В результаті отримано dy / dx = φ (y, C1), ∫ dy / φ (x, C1) = x + C2. Тут С1 і С2 — довільні постійні.
  5. Конкретне рішення залежить від виду виник диференціального рівняння першого порядку. Так, якщо це рівняння з відокремлюваними змінними, то воно вирішується безпосередньо. Якщо це однорідне відносно y рівняння, то для вирішення застосуєте підстановку u (y) = z / y. Для лінійного рівняння z = u (y) * v (y).