Як вирішувати рівняння третього ступеня

Як вирішувати рівняння третього ступеня

Рівняння третього ступеня ще називають кубічними рівняннями. Це рівняння, в яких старшої ступенем при змінної x є куб (3).

Інструкція

  1. Кубічне рівняння в загальному вигляді виглядає так: ax ³ + bx ² + cx + d = 0, a не дорівнює 0; a, b, c, d — дійсні числа. Універсальним методом вирішення рівняння третього ступеня є метод Кардано.
  2. Як вирішувати рівняння третього ступеня
    Для початку наводимо рівняння до виду y ³ + py + q = 0. Для цього проводимо заміну змінної x на y — b/3a. Підстановку заміни дивіться на малюнку. Для розкриття дужок використовуються дві формули скороченого множення: (ab) ³ = a ³ — 3a ² b + 3ab ² — b ³ і (ab) ² = a ² — 2ab + b ². Потім наводимо подібні доданки і групуємо за ступенями змінної y.
  3. Як вирішувати рівняння третього ступеня
    Тепер, щоб отримати при y ³ одиничний коефіцієнт, ділимо всі рівняння на a. Тоді отримаємо такі формули для коефіцієнтів p і q в рівнянні y ³ + py + q = 0.
  4. Як вирішувати рівняння третього ступеня
    Потім обчислюємо спеціальні величини: Q, α, β, які дозволять обчислити корені рівняння з y.
  5. Як вирішувати рівняння третього ступеня
    Тоді три корені рівняння y ³ + py + q = 0 обчислюються за формулами на малюнку.
  6. Якщо Q> 0, то рівняння y ³ + py + q = 0 має тільки один речовий корінь y1 = α + β (і два комплексні, обчисліть їх за відповідними формулами, якщо необхідно).

    Якщо Q = 0, то всі корені речовинні і принаймні два з них збігаються, при цьому α = β і коріння рівні: y1 = 2α, y2 = y3 =-α.

    Якщо Q

    Після знаходження y1, y2 і y3 підставте їх в заміну x = y — b/3a і знайдіть коріння початкового рівняння.

Корисні поради

Якщо вдається підібрати один з коренів кубічного рівняння x1, то можна кубічний многочлен розділити на (x — x1) і вирішувати вийшло квадратне рівняння.