Як вирішувати рівняння з кубом

Як вирішувати рівняння з кубом

Для вирішення кубічних рівнянь розроблено кілька математичних методів. Часто використовується метод підстановки або заміни куба допоміжної змінної, а також ряд ітераційних методів, зокрема, метод Ньютона. Але класичне рішення кубічного рівняння виражається в застосуванні формул Вієта і Кардано. Метод Вієта-Кардано заснований на використанні формули куба суми коефіцієнтів і застосуємо для будь-якого виду кубічного рівняння. Для пошуку коренів рівняння його запис необхідно представити у вигляді: x ³ + a * x ² + b * x + c = 0, де a — не нульове число.

Інструкція

  1. Запишіть вихідне кубічне рівняння у вигляді: x ³ + a * x ² + b * x + c = 0. Для цього всі коефіцієнти рівняння поділіть на перший коефіцієнт при множнику x ³, так щоб він став дорівнює одиниці.
  2. Виходячи з алгоритму методу Вієта-Кардано, обчисліть значення R і Q за відповідними формулами: Q = (a ²-3b) / 9, R = (2a ³-9ab +27 c) / 54. Причому коефіцієнти a, b і з є коефіцієнтами наведеного рівняння.
  3. Порівняйте отримані значення R і Q. Якщо вірно вираз Q ³> R ², отже, у вихідному рівнянні присутні 3 дійсних кореня. Обчисліть їх за формулами Вієта.
  4. При значеннях Q ³ <= R ², у вирішенні знаходиться один дійсний корінь х1 і два комплексно-сполучених кореня. Для їх визначення треба знайти проміжні значення А і В. Обчисліть їх за формулами Кардано.
  5. Знайдена перша дійсний корінь за формулою x1 = (B + A) — a / 3. При різних значеннях А і В визначте комплексно-сполучених коріння кубічного рівняння за відповідними формулами.
  6. Якщо значення А і В вийшли рівними, то пов’язані коріння вироджуються в другій дійсний корінь вихідного рівняння. Це той випадок, коли дійсних кореня виходить два. Обчисліть другий дійсний корінь за формулою x2 =- Aa / 3.