Як вирішувати рівняння з параметрами


 

При вирішенні задач з параметрами головне — зрозуміти умову. Вирішити рівняння з параметром — значить записати відповідь для будь-якого з можливих значень параметра. Відповідь має відображати перебір числової прямої.


Інструкція

  1. Найпростіший тип задач з параметрами — завдання на квадратний тричлен A · x ² + B · x + C. Параметричної величиною може стати будь-який з коефіцієнтів рівняння: A, B або C. Знайти корені квадратного тричлена для всякого із значень параметра — означає вирішити квадратне рівняння A · x ² + B · x + C = 0, перебравши кожне з можливих значень нефіксованим величини.
  2. В принципі, якщо в рівнянні A · x ² + B · x + C = 0 є параметром старший коефіцієнт A, то воно буде квадратним лише тоді, коли A ≠ 0. При A = 0 воно вироджується в лінійне рівняння B · x + C = 0, має один корінь: x =-C / B. Тому перевірка умови A ≠ 0, A = 0 повинна йти першим пунктом.
  3. Квадратне рівняння має дійсні корені при невід’ємне дискримінант D = B ² -4 · A · C. При D> 0 воно має два різних кореня, при D = 0 тільки один. Нарешті, якщо D
  4. Часто для вирішення завдань з параметрами застосовується теорема Вієта. Якщо квадратне рівняння A · x ² + B · x + C = 0 має корені x1 і x2, то для них вірна система: x1 + x2 =-B / A, x1 · x2 = C / A. Квадратне рівняння зі старшим коефіцієнтом, рівним одиниці, називається приведеним: x ² + M · x + N = 0. Для нього теорема Вієта має спрощений вигляд: x1 + x2 =-M, x1 · x2 = N. Варто зазначити, що теорема Вієта вірна при наявності як одного, так і двох коренів.
  5. Ті ж коріння, знайдені за допомогою теореми Вієта, можна підставити назад до запису рівняння: x ² — (x1 + x2) · x + x1 · x2 = 0. Не плутайте: тут x — змінна, x1 і x2 — конкретні числа.
  6. Часто допомагає при вирішенні метод розкладання на множники. Нехай рівняння A · x ² + B · x + C = 0 має корені x1 і x2. Тоді вірно тотожність A · x ² + B · x + C = A · (x-x1) · (x-x2). Якщо корінь єдиний, то можна просто сказати, що x1 = x2, і тоді A · x ² + B · x + C = A · (x-x1) ².
  7. Приклад. Знайдіть всі числа p і q, при яких корені рівняння x ² + p · + q = 0 рівні p і q.
    Рішення. Нехай p і q задовольняють умові завдання, тобто, є корінням. Тоді по теоремі Вієта:
    p + q =-p,
    pq = q.
  8. Система еквівалентна сукупності p = 0, q = 0, або p = 1, q = -2. Тепер залишилося зробити перевірку — переконатися, що отримані числа дійсно задовольняють умові завдання. Для цього потрібно просто підставити числа у вихідне рівняння.
    Відповідь: p = 0, q = 0 або p = 1, q = -2.