Як вирішувати симплекс метод


 

Лінійне програмування — математична область дослідження лінійних залежностей між змінними і рішення на їх основі завдань на пошук оптимальних значень того чи іншого показника. У зв’язку з цим методи лінійного програмування, у тому числі симплекс-метод, широко застосовуються в економічній теорії.



Інструкція

  1. Симплекс-метод — один з основних способів вирішення задач лінійного програмування. Він полягає в послідовному побудові математичної моделі, що характеризує даний процес. Рішення розбивається на три основних етапи: вибір змінних, побудова системи обмежень і пошук цільової функції.
  2. Виходячи з цього поділу, умова задачі можна перефразувати так: знайти екстремум цільової функції Z (X) = f (x1, x2, …, xn) → max (min) і відповідні змінні, якщо відомо, що вони задовольняють системі обмежень:

    Φ_i (x1, x2, …, xn) = 0 при i = 1, 2, …, k;
    Φ_i (x1, x2, …, xn)) 0 при i = k +1, k +2, …, m.
        



  3. Як вирішувати симплекс метод

                            Систему обмежень потрібно привести до канонічного виду, тобто до системи лінійних рівнянь, де число змінних більше числа рівнянь (m> k). В цій системі обов’язково знайдуться змінні, які можна виразити через інші змінні, а якщо це не так, то їх можна ввести штучно. У цьому випадку перші називаються базисом або штучним базисом, а другі — вільними.
        
  4. Зручніше розглянути симплекс-метод на конкретному прикладі. Нехай дана лінійна функція f (x) = 6×1 + 5×2 + 9×3 і система обмежень:

    5×1 + 2×2 + 3×3 ≤ 25;
    x1 + 6×2 + 2×3 ≤ 20;
    4×1 + 3×3 ≤ 18.

    Потрібно знайти максимальне значення функції f (x).


  5. Рішення

    На першому етапі задайте початкове (опорне) рішення системи рівнянь абсолютно довільним чином, яке при цьому має задовольняти даній системі обмежень. В даному випадку потрібне введення штучного базису, тобто базисних змінних x4, x5 і x6 наступним чином:

    5×1 + 2×2 + 3×3 + x4 = 25;
    x1 + 6×2 + 2×3 + x5 = 20;
    4×1 + 3×3 + x6 = 18.


  6. Як бачите, нерівності перетворилися в рівності завдяки доданим змінні x4, x5, x6, які є невід’ємними величинами. Таким чином, ви привели систему до канонічного виду. Мінлива x4 входить в перше рівняння з коефіцієнтом 1, а в два інших — з коефіцієнтом 0, то ж справедливо для змінних x5, x6 та відповідних рівнянь, що відповідає визначенню базису.

  7. Як вирішувати симплекс метод

                            Ви підготували систему і знайшли початкове опорне рішення — X0 = (0, 0, 0, 25, 20, 18). Тепер уявіть коефіцієнти змінних і вільні члени рівнянь (цифри праворуч від знака «=») у вигляді таблиці для оптимізації подальших обчислень (див. рис).

  8. Як вирішувати симплекс метод

                            Суть симплекс-методу полягає в тому, щоб привести цю таблицю до такого виду, в якому всі цифри в рядку L будуть невід’ємними величинами. Якщо ж з’ясується, що це неможливо, то система взагалі не має оптимального рішення. Для початку виберіть самий мінімальний елемент цього рядка, це -9. Цифра стоїть в третьому стовпці. Перетворіть відповідну змінну x3 в базисну. Для цього розділіть рядок на 3, щоб у клітинці [3,3] вийшла 1.

  9. Як вирішувати симплекс метод

                            Тепер потрібно, щоб осередки [1,3] та [2,3] звернулися до 0. Для цього відніміть від елементів першого рядка відповідні цифри третього рядка, помножені на 3. Від елементів другого рядка — елементи третьої, помножені на 2. І, нарешті, від елементів рядка L — помножені на (-9). Ви отримали другу опорне рішення: f (x) = L = 54 при x1 = (0, 0, 6, 7, 8, 0).

  10. Як вирішувати симплекс метод

                            У рядку L залишилося тільки одне негативне число -5 в другому стовпці. Тому будемо перетворювати до базисного увазі змінну x2. Для цього елементи стовпця повинні прийняти вид (0, 1, 0). Розділіть всі елементи другого рядка на 6.

  11. Як вирішувати симплекс метод

                            Тепер від елементів першого рядка відніміть відповідні цифри другого рядка, помножені на 2. Потім відніміть від елементів рядка L ті ж цифри, але з коефіцієнтом (-5).
  12. Ви отримали третє і остаточне опорне рішення, оскільки всі елементи рядка L стали невід’ємними. Отже, X2 = (0, 4/3, 6, 13/3, 0, 0) і L = 182/3 = -83/18×1 — 5/6×5 -22/9×6. Максимальне значення функції f (x) = L (X2) = 182/3. Оскільки всі x_i у вирішенні X2 ненегативні, як і саме значення L, то оптимальне рішення знайдено.