Як вирішувати тотожності

Як вирішувати тотожності

Вирішувати тотожності досить просто. Для цього потрібно здійснювати тотожні перетворення, поки поставлена ​​мета не буде досягнута. Таким чином, за допомогою найпростіших арифметичних дій поставлена ​​задача буде вирішена.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. Найпростіший приклад таких перетворень — алгебраїчні формули скороченого множення (такі як квадрат суми (різниці), різниця квадратів, сума (різниця) кубів, куб суми (різниці)). Крім того існує безліч логарифмічних та тригонометричних формул, які по своїй суті є тими ж тождествами.
  2. Дійсно, квадрат суми двох доданків дорівнює квадрату Перший плюс подвоєне твір першого на друге і плюс квадрат другого, тобто (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 +2 ab + b ^ 2.

    Спростіть вираз (ab) ^ 2 +4 ab. (Ab) ^ 2 +4 ab = a ^ 2-2ab + b ^ 2 +4 ab = a ^ 2 +2 ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2. У вищій математичній школі, якщо розібратися, тотожні перетворення — найперша з найпершого. Але там вони вважаються чимось само собою зрозумілим. Мета їх не завжди спрощення висловлювання, а інший раз і ускладнення, з метою, як уже говорилося, досягнення поставленої мети.

    Будь правильна раціональна дріб може бути представлена ​​у вигляді суми кінцевого числа найпростіших дробів

    Pm (x) / Qn (x) = A1 / (xa) + A2 / (xa) ^ 2 + … + Ak / (xa) ^ k + … + (M1x + N1) / (x ^ 2 +2 px + q) + … + (M2x ​​+ N2) / (x ^ 2 +2 px + q) ^ s.
  3. Приклад. Тотожними перетвореннями розкласти на найпростіші дроби (x ^ 2) / (1-x ^ 4).

    Розкладіть вираз 1-х ^ 4 = (1-x) (1 + x) (x ^ 2 +1). (X ^ 2) / (1-x ^ 4) = A / (1-x) + B / (x +1) + (Cx + D) / (x ^ 2 +1)

    Наведіть суму до спільного знаменника і прирівняти чисельники дробів в обох частинах рівності.

    X ^ 2 = A (x +1) (x ^ 2 +1) + B (1-x) (x ^ 2 +1) + (Cx + D) (1-x ^ 2)

    Зауважте, що:

    При х = 1: 1 = 4А, А = 1 / 4;

    При х = — 1: 1 = 4В, В = 1 / 4.

    Коефіцієнти при x ^ 3: ABC = 0, звідки С = 0

    Коефіцієнти при x ^ 2: A + BD = 1 і D =- 1 / 2

    Отже, (x ^ 2) / (1-x ^ 4) = 1 / (1-x) + 1 / (4 (x +1)) — 1 / (2 (x ^ 2 +1)).