Тригонометричні рівняння — це рівняння, які містять в собі тригонометричні функції невідомого аргументу (для прикладу: 5sinx-3cosx = 7). Щоб навчитися вирішувати їх — потрібно знати деякі для цього методи.
Інструкція
- Рішення таких рівняння складається з двох етапів.
Перше — перетворення рівняння для отримання його найпростішого виду. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються такі: Sinx = a; Cosx = a і т.д. - Друге — це рішення отриманого найпростішого тригонометричного рівняння. Існує основні методи розв’язання рівнянь такого вигляду:
Рішення алгебраїчним методом. Цей метод добре відомий зі школи, з курсу алгебри. По іншому називають методом заміни змінної та підстановки. Використовуючи формули приведення, перетворимо, робимо заміну, після чого знаходимо коріння. - Розкладання рівняння на множники. Спочатку переносимо всі члени вліво і розкладаємо на множники.
- Приведення рівняння до однорідного. Однорідними рівняннями називають рівняння, якщо всі члени однієї і тієї ж мірою і синус, косинус одного і того ж кута.
Щоб його вирішити, треба: спочатку перенести всі його члени з правої частини в ліву частину; винести всі загальні множники за дужки; прирівняти множники і дужки нулю; прирівняні дужки дають однорідне рівняння меншою мірою, що слід розділити на cos (або sin) у старшій ступеня; вирішити отримане рівняння алгебри щодо tan. - Наступний метод — перехід до половинному кутку. Наприклад, вирішити рівняння: 3 sin x — 5 cos x = 7.
Переходимо до половинному кутку: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) — 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) = 7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2), після чого всі члени зводимо в одну частину (краще в праву) і вирішуємо рівняння. - Введення допоміжного кута. Коли ми замінюємо ціле значення cos (а) або sin (а). Знак «а» — допоміжний кут.
- Метод перетворення добутку в суму. Тут треба використовувати відповідні формули. Наприклад дано: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.
Вирішимо її, перетворивши ліву частину в суму, тобто:
cos 4x — cos 8x = cos 4x,
cos 8x = 0,
8x = p / 2 + pk,
x = p / 16 + pk / 8. - Останній метод, званий універсальної підстановкою. Ми перетворюємо вираз і робимо заміну, наприклад Cos (x / 2) = u, після чого вирішуємо рівняння з параметром u. При отриманні результату переводимо значення в зворотне.
