Як вирішувати завдання з роботою з математики

Як вирішувати завдання з роботою з математики

Як стверджують багато джерел, рішення завдань розвиває логічне й інтелектуальне мислення. Завдання «на роботу» є одними з найбільш цікавих. Для того, щоб навчитися вирішувати такі завдання, необхідно вміти представляти процес роботи, про яку в них йдеться.

Інструкція

  1. Завдання «на роботу» мають свої особливості. Для їх вирішення необхідно знати визначення та формули. Запам’ятайте наступне:

    А = Р * t — формула роботи;

    P = A / t — формула продуктивності;

    t = A / P — формула часу, де А — робота, Р-продуктивність праці, t-час.

    Якщо в умові задачі не вказана робота, то її приймайте за 1.
  2. На прикладах розберемо, як вирішуються такі завдання.

    Умова. Два робітників, працюючи одночасно, скопали город за 6 ч. Перший робітник міг би виконати ту ж роботу за 10 ч. За скільки годин другий робочий може скопати город?

    Рішення: Приймемо всю роботу за 1. Тоді, відповідно до формули продуктивності — P = A / t, 1 / 10 частину роботи робить перший робочий за 1год. 6 / 10 він робить за 6 годин. Отже, другий робочий за 6 годин робить 4 / 10 роботи (1 — 6 / 10). Ми визначили, що продуктивність другого робочого дорівнює 4 / 10. Час спільної роботи, за умовою задачі, становить 6 годин. За Х приймемо те, що треба знайти, тобто роботу другого працівника. Знаючи, що t = 6, P = 4 / 10, складемо і розв’яжемо рівняння:

    0,4 х = 6,

    х = 6 / 0, 4,

    х = 15.

    Відповідь: Другий робітник може скопати город за 15 годин.
  3. Розберемо ще один приклад: Для наповнення контейнера водою є три труби. Першою трубі для наповнення контейнера необхідно часу в три рази менше, ніж другий, і на 2 год більше, ніж третьої. Три труби, працюючи одночасно, наповнили б контейнер за 3ч, але за умовами експлуатації одночасно можуть працювати тільки дві труби. Визначте мінімальну вартість наповнення контейнера, якщо вартість 1ч роботи однієї з труб одно 230 рублів.

    Рішення: Це завдання зручно вирішувати за допомогою таблиці.

    1). Візьмемо всю роботу за 1. За Х візьмемо час, необхідний третьої труби. За умовою першій трубі треба на 2 години більше, ніж третьої. Тоді першою трубі знадобитися (Х +2) години. А третьою трубі треба в 3 рази більше часу, ніж першої, тобто 3 (Х +2). Спираючись на формулу продуктивності, одержимо: 1 / (Х +2) — продуктивність першої труби, 1 / 3 (Х +2) — другої труби, 1 Х — третьої труби. Занесемо всі дані в таблицю.

    Робота Час, час продуктивність

    1 труба А = 1 t = (Х +2) P = 1 / Х +2

    2 труби А = 1 t = 3 (Х +2) P = 1 / 3 (Х +2)

    3 труби А = 1 t = Х P = 1 / Х

    Разом А = 1 t = 3 P = 1 / 3

    Знаючи, що спільна продуктивність дорівнює 1 / 3, складемо і розв’яжемо рівняння:

    1 / (Х +2) +1 / 3 (Х +2) +1 / Х = 1 / 3

    1 / (Х +2) +1 / 3 (Х +3) +1 / Х-1 / 3 = 0

    3Х + Х +3 х +6- Х2-2Х = 0

    5Х +6- Х2 = 0

    Х2-5Х-6 = 0

    При вирішенні квадратного рівняння знаходимо корінь. Виходить,

    Х = 6 (годин) — час, який знадобиться третя трубі для наповнення контейнера.

    З цього випливає, що час, який треба першій трубі одно (6 +2) = 8 (годин), а другий = 24 (години).

    2). З отриманих даних робимо висновок, що мінімальний час — це час роботи 1 і3 труб, тобто 14ч.

    3). Визначимо мінімальну вартість наповнення контейнера двома трубами.

    230 * 14 = 3220 (грн.)

     Відповідь: 3220 руб.
  4. Є завдання найбільш складніше, де необхідно вводити кілька змінних.

    Умова: Спеціаліст і стажист, працюючи разом, зробили певну роботу за 12 днів. Якби спочатку фахівець виконав один половину всієї роботи, а потім другу половину закінчив один стажер, то на все було б витрачено 25 днів.

    а) Знайдіть час, який міг би витратити спеціаліст на завершення всієї роботи, за умови, що він буде працювати один і швидше стажиста.

    б) Як поділити працівникам отримані за спільне виконання роботи 15000 рублів?

    1). Нехай всю роботу фахівець може виконати за X днів, а стажер за Y днів.

    Отримаємо, що за 1 день спеціаліст виконує за 1 / X роботи, а стажер за 1/Yработи.

    2). Знаючи, що працюючи разом, на всю роботу в них пішло 12 днів, отримаємо:

    (1 / X +1 / Y) = 1 / 12 — ‘це перше рівняння.

    За умовою, працюючи по черзі, поодинці, було витрачено 25 днів, отримаємо:

    X / 2 + Y / 2 = 25

    X + Y = 50

    Y = 50-X — це друге рівняння.

    3) Підставимо друге рівняння в перше, отримаємо: (50 — х + х) / (х (х-50)) = 1 / 12

    X2-50X + 600 = 0, х1 = 20, х2 = 30 (тоді Y = 20) не задовольняє умові.

    Відповідь: X = 20, Y = 30.

    Гроші треба ділити обернено пропорційно витраченому на виконання роботи часу. Т.к. фахівець працював швидше і, як наслідок, може зробити більше. Поділити гроші треба у відношенні 3:2. Фахівцю 15000 / 5 * 3 = 9000 руб.

    Стажисту 15000 / 5 * 2 = 6000 руб.

    Корисні поради: Якщо ви не зрозуміли умову задачі, не треба приступати до її вирішення. Спочатку уважно прочитайте завдання, виділіть все, що відомо, і що треба знайти. Якщо це можливо, намалюйте малюнок — схему. Так само можна скористатися таблицями. Використання таблиць і схем може полегшити розуміння і вирішення завдання.

Зверніть увагу

Загальна продуктивність дорівнює сумі продуктивностей.