Як вивернути сферу навиворіт


 

Відповідь на поставлене запитання можна отримати за допомогою заміни системи координат. Так як вибір їх не обумовлений, то і способів може бути декілька. У будь-якому випадку, мова йде про форму сфери в новому просторі.



Інструкція

  1. Для того щоб подальше було зрозуміліше, почніть з плоского випадку. Звичайно слово «вивернемо» слід брати в лапках.
    Розгляньте окружність x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2. Застосуйте криволінійні координати. Для цього зробіть заміни змінних u = R / x, v = R / y, відповідно зворотне перетворення x = R / u, y = R / v. Підставте це в рівняння кола та отримайте [(1 / u) ^ 2 + (1 / v) ^ 2] * R ^ 2 = R ^ 2 або (1 / u) ^ 2 + (1 / v) ^ 2 = 1 . Далі (u ^ 2 + v ^ 2) / (u ^ 2) (v ^ 2) = 1, або u ^ 2 + v ^ 2 = (u ^ 2) (v ^ 2). Графіки таких функцій не вкладаються в рамки кривих другого порядку (тут четвертий порядок).

  2. Як вивернути сферу навиворіт

                  Для того щоб став зрозумілий вид кривої в координатах u0v, що розглядаються як декартові, перейдіть до полярних координатах ρ = ρ (φ). При цьому u = ρcosφ, v = ρsinφ. Тоді (ρcosφ) ^ 2 + (ρsinφ) ^ 2 = [(ρcosφ) ^ 2] [(ρsinφ) ^ 2]. (Ρ ^ 2) [(cosφ) ^ 2 + (sinφ) ^ 2] = (ρ ^ 4) [(cosφ) ^ 2] [(sinφ) ^ 2], 1 = (ρ ^ 2) [(cosφ) (sinφ)] ^ 2. Застосуйте формулу синуса подвійного кута і отримаєте ρ ^ 2 = 4 / (sin2φ) ^ 2 або ρ = 2 / | (sin2φ) |. Гілки цієї кривої дуже схожі на гілки гіперболи (див. рис. 1).
  3. Тепер вам слід перейти до сфери x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = R ^ 2. За аналогією з колом зробіть заміни u = R / x, v = R / y, w = R / z. Тоді x = R / u, y = R / v, z = R / w. Далі отримаєте [(1 / u) ^ 2 + (1 / v) ^ 2 + (1 / w) ^ 2] * R ^ 2 = R ^ 2, (1 / u) ^ 2 + (1 / v) ^ 2 + (1 / w) ^ 2 = 1 або (u ^ 2) (v ^ 2) + (u ^ 2) (w ^ 2) + (v ^ 2) (w ^ 2) = (u ^ 2) (v ^ 2) (w ^ 2). До сферичних координат в межах 0uvw, що розглядаються як декартові, переходити не слід, тому що це не внесе полегшення у пошуку ескізу отриманої поверхні.
  4. Тим не менш, цей ескіз уже позначився з попередніх даних плоского випадку. Крім того, очевидно, що це — поверхня, що складається з окремих фрагментів, і що координатних площин u = 0, v = 0, w = 0 ці фрагменти не перетинають. Вони можуть наближатися до них асимптотично. В цілому фігура складається з восьми фрагментів схожих на гіперболоіди. Якщо дати їм назву «умовний гіперболоїд», то можна говорити про чотири парах двопорожнинні умовних гіперболоїдів, віссю симетрії яких є прямі з напрямними косинусами {1 / √ 3, 1 / √ 3, 1 / √ 3}, {-1 / √ 3 , 1 / √ 3, 1 / √ 3}, {1 / √ 3, -1 / √ 3, 1 / √ 3}, {-1 / √ 3, -1 / √ 3, 1 / √ 3}. Ілюстрацію навести досить важко. Тим не менш, наведене опис можна вважати достатньо повним.