Як вивести формулу медіани трикутника


 

Медіана в трикутнику — це відрізок, який проводять з вершини кута до середини протилежної сторони. Щоб знайти довжину медіани, необхідно скористатися формулою вираження її через всі сторони трикутника, яку неважко вивести.



Інструкція

  1. Щоб вивести формулу для медіани в довільному трикутнику, необхідно звернутися до слідства з теореми косинусів для паралелограма, що виходить шляхом добудовування трикутника. Формулу можна довести на цій підставі, вона дуже зручна при вирішенні задач, якщо відомі всі довжини сторін або їх легко можна знайти з інших початкових даних задачі.
      
  2. Фактично теорема косинусів являє собою узагальнення теореми Піфагора. Вона звучить так: для двовимірного трикутника з довжинами сторін a, b і c і кутом α, протилежними стороні a, справедливо наступне рівність:
    a ² = b ² + c ² — 2 • b • c • cos α.
      
  3. Узагальнююче наслідок з теореми косинусів визначає одне з найважливіших властивостей чотирикутника: сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх його сторін: d1 ² + d2 ² = a ² + b ² + c ² + d ².
      
  4. Вирішити задачу: нехай у довільному трикутнику ABC відомі всі сторони, знайдіть його медіану BM.
      
  5. Добудуйте трикутник до паралелограма ABCD додаванням ліній, паралельних a і c. таким чином, сформувалася фігура зі сторонами a і c і діагоналлю b. Найзручніше будувати так: відкладіть на продовженні прямої, якій належить медіана, відрізок MD тієї ж довжини, з’єднайте його вершину з вершинами останніх двох сторін A і C.
      
  6. По властивості паралелограма діагоналі діляться точкою перетину на рівні частини. Застосуйте наслідок з теореми косинусів, згідно з яким сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі подвоєних квадратів його сторін:
    BK ² + AC ² = 2 • AB ² + 2 • BC ².
      
  7. Оскільки BK = 2 • BM, а BM — це медіана m, то:
    (2 • m) ² + b ² = 2 • c ² + 2 • a ², звідки:
    m = 1/2 • √ (2 • c ² + 2 • a ² — b ²).
      
  8. Ви вивели формулу однією з медіан трикутника для сторони b: mb = m. Аналогічно знаходяться медіани двох інших його сторін:
    ma = 1/2 • √ (2 • c ² + 2 • b ² — a ²);
    mc = 1/2 • √ (2 • a ² + 2 • b ² — c ²).