Як вивести момент інерції


 

Основною характеристикою моменту інерції є розподіл мас в тілі. Це скалярна величина, розрахунок якої залежить від величин елементарних мас і їх відстаней до базового безлічі.



Інструкція

  1. Поняття моменту інерції пов’язано з безліччю об’єктів, здатних обертатися навколо осі. Він показує, наскільки ці об’єкти інертні під час обертання. Ця величина аналогічна масі тіла, що визначає його інертність при поступальному русі.
  2. Момент інерції залежить не тільки від маси об’єкта, але і його положення щодо осі обертання. Він дорівнює сумі моменту інерції цього тіла відносно, що проходить через центр мас, і твори маси (площі перерізу) на квадрат відстані між нерухомою і дійсною осями:

    J = J0 + S · d ².


  3. При виведенні формул використовуються формули інтегрального числення, оскільки ця величина є сумою послідовності елементом, іншими словами, сумою числового ряду:

    J0 = ∫ y ² dF, де dF — площа перерізу елемента.


  4. Спробуємо вивести момент інерції для найпростішої фігури, наприклад, вертикального прямокутника відносно осі ординат, що проходить через центр мас. Для цього подумки розіб’ємо його на елементарні смужки шириною dy загальною тривалістю, що дорівнює довжині фігури a. Тоді:

    J0 = ∫ y ² bdy на інтервалі [-a / 2; a / 2], b — ширина прямокутника.


  5. Тепер нехай вісь обертання проходить не через центр прямокутника, а на відстані с від неї і паралельно їй. Тоді момент інерції буде дорівнює сумі початкового моменту, знайденого на першому кроці, і добутку маси (площі перерізу) на c ²:

    J = J0 + S · c ².


  6. Оскільки S = ​​∫ bdy:

    J = ∫ y ² bdy + ∫ c ² bdy = ∫ (y ² + c ²) bdy.


  7. Розрахуємо момент інерції для тривимірної фігури, наприклад, кулі. В цьому випадку елементами виступають плоскі диски товщиною dh. Зробимо розбиття перпендикулярно осі обертання. Підрахуємо радіус кожного такого диска:

    r = √ (R ² — h ²).


  8. Маса такого диска буде дорівнює p · π · r ² dh, як твір обсягу (dV = π · r ² dh) на щільність. Тоді момент інерції виглядає наступним чином:

    dJ = r ² dm = π · p · (R ^ 4 — 2 * R ² * h ² + h ^ 4) dh, звідки J = 2 · ∫ dJ [0; R] = 2/5 · m · R ².