Як визначити координати центра ваги


 

В однорідному гравітаційному полі центр ваги збігається з центром мас. В геометрії поняття «центр ваги» і «центр мас» також еквівалентні, оскільки існування гравітаційного поля не розглядається. Центр мас називається ще центром інерції і барицентра (від грец. Barus — важкий, kentron — центр). Він характеризує рух тіла або системи частинок. Так, при вільному падінні тіло обертається навколо свого центру інерції.



Інструкція

  1. Нехай система складається з двох однакових точок. Тоді центр ваги, очевидно, розташовується посередині між ними. Якщо точки з координатами x1 і x2 мають різні маси m1 і m2, то координата центра мас x (c) = (m1 · x1 + m2 · x2) / (m1 + m2). В залежності від обраного «нуля» системи відліку, координати можуть бути і негативними.
  2. Точки на площині мають дві координати: x і y. При завданні у просторі додається ще третя координата z. Щоб не розписувати кожну координату окремо, зручно розглядати радіус-вектор точки: r = x · i + y · j + z · k , де i , j , k — орти координатних осей.
  3. Нехай тепер система складається з трьох точок з масами m1, m2 і m3. Їх радіус-вектори, відповідно, r1 , r2 і r3 . Тоді радіус-вектор їх центру ваги r (c) = (m1 · r1 + m2 · r2 + m3 · r3 ) / (m1 + m2 + m3).
  4. Якщо система складається з довільного числа точок, тоді радіус-вектор, за визначенням, знаходиться за формулою:
    r (c) = Σm (i) · r (i) < / b> / Σm (i). Підсумовування проводиться за індексом i (записується знизу від знака суми Σ). Тут m (i) — маса деякого i-го елемента системи, r (i) — його радіус-вектор.
  5. Якщо тіло однорідне по масі, сума переходить в інтеграл. Розбийте подумки тіло на нескінченно маленькі шматочки масою dm. Оскільки тіло однорідне, масу кожного шматочка можна записати як dm = ρ · dV, де dV — елементарний об’єм цього шматочка, ρ — щільність (однакова по всьому об’єму однорідного тіла).
  6. Інтегральне підсумовування маси всіх шматочків дасть масу всього тіла: Σm (i) = ∫ dm = M. Отже, виходить r (c) = 1 / M · ∫ ρ · dV · dr . Щільність, постійну величину, можна винести з-під знака інтеграла: r (c) = ρ / M · ∫ dV · dr . Для безпосереднього інтегрування знадобиться встановити конкретну функцію між dV і dr , яка залежить від параметрів фігури.
  7. Наприклад, центр ваги відрізка (довгого однорідного стержня) знаходиться посередині. Центр мас сфери і кулі розташовується в центрі. Барицентра конуса знаходиться на чверті висоти осьового відрізка, рахуючи від основи.
  8. Барицентра деяких простих фігур на площині легко визначити геометрично. Наприклад, для плоского трикутника це буде точка перетину медіан. Для паралелограма — точка перетину діагоналей.
  9. Центр ваги фігури можна визначити і досвідченим шляхом. Виріжте з листа щільного паперу або картону будь-яку фігуру (наприклад, той же трикутник). Спробуйте встановити її на кінчику вертикально витягнутого пальця. Те місце на фігурі, для якого вийде це зробити, і буде центром інерції тіла.