Як визначити критичні точки


 

Критичні точки є одним з найважливіших аспектів дослідження функції за допомогою похідної і мають широку область застосування. Вони використовуються в диференціальному і вариационном численнях, відіграють велику роль у фізиці і механіці.



Інструкція

  1. Поняття критичної точки функції тісно пов’язано з поняттям її похідної в цій крапці. А саме, точка називається критичною, якщо похідна функції в ній не існує або дорівнює нулю. Критичні точки є внутрішніми точками області визначення функцію.
  2. Щоб визначити критичні точки даної функції, необхідно виконати декілька дій: знайти область визначення функції, обчислити її похідну, знайти область визначення похідної функції, знайти точки звернення похідної в нуль, довести приналежність знайдених точок області визначення вихідної функції.
  3. Приклад 1

    Визначте критичні точки функції y = (x — 3) ² · (x-2).


  4. Рішення

    Знайдіть область визначення функції, в даному випадку обмежень немає: x ∈ (- ∞; + ∞);

    Обчисліть похідну y ‘. За правилами диференціювання добутку двох функцій є: y ‘= ((x — 3) ²)’ · (x — 2) + (x — 3) ² · (x — 2) ‘= 2 · (x — 3) · ( x — 2) + (x — 3) ² · 1. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: y ‘= 3 · x ² — 16 · x + 21.


  5. Знайдіть область визначення похідної функції: x ∈ (- ∞; + ∞).

    Вирішити рівняння 3 · x ² — 16 · x + 21 = 0 для того, щоб знайти, за яких x похідна звертається в нуль: 3 · x ² — 16 · x + 21 = 0.


  6. D = 256 — 252 = 4

    x1 = (16 + 2) / 6 = 3; x2 = (16 — 2) / 6 = 7/3.

    Отже, похідна звертається в нуль при значеннях x, рівних 3 і 7/3.


  7. Визначте, чи належать знайдені точки області визначення вихідної функції. Оскільки x (- ∞; + ∞), то обидві ці точки є критичними.
  8. Приклад 2

    Визначте критичні точки функції y = x ² — 2 / x.


  9. Рішення

    Область визначення функції: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞), оскільки x стоїть у знаменнику.

    Обчисліть похідну y ‘= 2 · x + 2 / x ².


  10. Область визначення похідної функції та ж, що у вихідної: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞).

    Вирішити рівняння 2 · x + 2 / x ² = 0:

    2 · x = -2 / x ² → x = -1.


  11. Отже, похідна звертається в нуль при x = -1. Виконано необхідна, але недостатня умова критичності. Оскільки x = -1 потрапляє в інтервал (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞), то ця точка є критичною.