Пряма в просторі задається канонічним рівнянням, що містить координати її направляють векторів. Виходячи з цього, визначити кут між прямими можна за формулою косинуса кута, утвореного векторами.
Інструкція
- Визначити кут між двома прямими в просторі можна, навіть якщо вони не перетинаються. В цьому випадку потрібно подумки поєднати початку їх направляють векторів і обчислити величину отриманого кута. Іншими словами, це будь-який із суміжних кутів, утворених перехресними прямими, проведеними паралельно даними.
- Існує кілька способів завдання прямий в просторі, наприклад, векторно-параметричний, параметричний і канонічний. Три згаданих методу зручно використовувати при знаходженні кута, тому що всі вони припускають введення координат напрямних векторів. Знаючи ці величини, можна визначити утворений кут по теоремі косинусів з векторної алгебри.
- Припустимо, дві прямі L1 і L2 задані канонічними рівняннями:
L1: (x — x1) / k1 = (y — y1) / l1 = (z — z1) / n1;
L2: (x — x2) / k2 = (y — y2) / l2 = (z — z2) / n2.
- Використовуючи величини ki, li і ni, запишіть координати напрямних векторів прямих. Назвіть їх N1 і N2:
N1 = (k1, l1, n1);
N2 = (k2, l2, n2).
- Формула для косинуса кута між векторами є співвідношенням між їх скалярним твором і результатом арифметичного множення їх довжин (модулів).
- Визначте скалярний добуток векторів як суму добутків їх абсцис, ординат і аплікат:
N1 • N2 = k1 • k2 + l1 • l2 + n1 • n2.
- Обчисліть квадратні корені із сум квадратів координат, щоб визначити модулі напрямних векторів:
| N1 | = √ (k1 ² + l1 ² + n1 ²);
| N2 | = √ (k2 ² + l2 ² + n2 ²).
- Використовуйте всі отримані вирази, щоб записати загальну формулу косинуса кута N1N2:
cos (N1N2) = (k1 • k2 + l1 • l2 + n1 • n2) / (√ (k1 ² + l1 ² + n1 ²) • √ (k2 ² + l2 ² + n2 ²)).
Щоб знайти величину самого кута, порахуйте arccos від цього виразу.
- Приклад: визначити кут між заданими прямими:
L1: (x — 4) / 1 = (y + 1) / (-4) = z / 1;
L2: x / 2 = (y — 3) / (-2) = (z + 4) / (-1).
- Рішення:
N1 = (1, -4, 1); N2 = (2, -2, -1).
N1 • N2 = 2 + 8 — 1 = 9;
| N1 | • | N2 | = 9 • √ 2.
cos (N1N2) = 1 / √ 2 → N1N2 = π / 4.
