Як визначити модуль вектора


 

Об’єктами векторної алгебри є відрізки прямої, які мають напрямок і довжину, звану модулем. Щоб визначити модуль вектора, слід витягти квадратний корінь з величини, що представляє собою суму квадратів його проекцій на координатні осі.


Інструкція

  1. Вектори характеризуються двома основними властивостями: довжиною і напрямком. Довжина вектора називається модулем чи нормою і являє собою скалярний значення, відстань від точки початку до точки кінця. Обидва властивості застосовуються для графічного зображення різних величин або дій, наприклад, фізичних сил, руху елементарних частинок і пр.
      
  2. Розташування вектора в двомірному або тривимірному просторі не впливає на його властивості. Якщо перенести його в інше місце, то зміняться лише координати його кінців, однак модуль і напрям залишаться колишніми. Ця незалежність дозволяє використовувати кошти векторної алгебри в різних обчисленнях, наприклад, визначення кутів між просторовими прямими і площинами.
      
  3. Кожен вектор можна задати координатами його кінців. Розглянемо для початку двомірне простір: нехай початок вектора знаходиться в точці А (1, -3), а кінець — в точці В (4, -5). Щоб знайти їх проекції, опустіть перпендикуляри на вісь абсцис і ординат.
  4. Визначте проекції самого вектора, які можна обчислити за формулою:
    АВХ = (xb — xa) = 3;
    ABy = (yb — ya) = -2, де:
    ABx і ABy — проекції вектора на осі Ох і Оу;
    xa та xb — абсциси точок А і В;
    ya і yb — відповідні ординати.
      
  5. У графічному зображенні ви побачите прямокутний трикутник, утворений катетами з довжинами, рівними проекціям вектора. Гіпотенузою трикутника є величина, яку потрібно обчислити, тобто модуль вектора. Застосуйте теорему Піфагора:
    | АВ | ² = ABx ² + ABy ² → | AB | = √ ((xb — xa) ² + (yb — ya) ²) = √ 13.
      
  6. Очевидно, що для тривимірного простору формула ускладнюється шляхом додавання третьої координати — аплікат zb і za для решт вектора:
    | AB | = √ ((xb — xa) ² + (yb — ya) ² + (zb — za) ²).
      
  7. Нехай в розглянутому прикладі za = 3, zb = 8, тоді:
    zb — za = 5;
    | AB | = √ (9 + 4 + 25) = √ 38.