Дослідження такого об’єкта математичного аналізу як функція має велике значення і в інших областях науки. Наприклад, в економічному аналізі постійно потрібно оцінити поведінку функції прибутку, а саме визначити її найбільше значення і розробити стратегію його досягнення.
Інструкція
- Дослідження поведінки будь-якої функції завжди слід починати з пошуку області визначення. Зазвичай за умовою конкретної задачі потрібно визначити найбільше значення функції або на всій цій області, або на конкретному її інтервалі з відкритими або закритими кордонами.
- Виходячи з назви, найбільшим є таке значення функції y (x0), при якому для будь-якої точки області визначення виконується нерівність y (x0) ≥ y (x) (х ≠ x0). Графічно ця точка буде найвищою, якщо розташувати значення аргументу по осі абсцис, а саму функцію по осі ординат.
- Щоб визначити найбільше значення функції, дотримуйтесь алгоритму з трьох етапів. Врахуйте, що ви повинні вміти працювати з односторонніми і нескінченними межами, а також обчислювати похідну. Отже, нехай задана деяка функція y (x) і потрібно знайти її найбільше значення на деякому інтервалі з граничними значеннями А і В.
- З’ясуйте, чи входить цей інтервал в область визначення функції. Для цього необхідно її знайти, розглянувши всі можливі обмеження: присутність у вираженні дробу, логарифма, квадратного кореня і т.д. Область визначення — це безліч значень аргументу, при яких функція має сенс. Визначте, чи є даний інтервал його підмножиною. Якщо так, то переходьте до наступного етапу.
- Знайдіть похідну функції і вирішіть отримане рівняння, прирівнявши похідну до нуля. Таким чином, ви отримаєте значення так званих стаціонарних точок. Оцініть, чи належить хоч одна з них інтервалу А, В.
- Розгляньте на третьому етапі ці точки, підставте їх значення в функцію. В залежності від типу інтервалу зробіть такі додаткові дії. При наявності відрізка виду [А, В] граничні точки входять в інтервал, про це говорять квадратні дужки. Обчисліть значення функції при х = А і х = В. Якщо відкритий інтервал (А, В), граничні значення є виколотими, тобто не входять в нього. Вирішити односторонні межі для х → А і х → В. Комбінований інтервал виду [А, В) або (А, В], одна з меж якого належить йому, інша — ні. Знайдіть односторонній межа при х, що прагне до виколотими значенням, а інше підставте у функцію. Нескінченний двосторонній інтервал (- ∞, + ∞) або односторонні нескінченні проміжки види: [A, + ∞), (A, + ∞), (- ∞; B], (- ∞, B). Для дійсних меж А і В дійте згідно вже описаним принципам, а для нескінченних шукайте межі для х → — ∞ і х → + ∞ відповідно.
- Завдання на цьому етапі полягає в тому, щоб зрозуміти, чи відповідає стаціонарна точка найбільшим значенням функції. Це так, якщо вона перевищує значення, отримані описаними способами. У випадку, якщо задано кілька інтервалів, стаціонарне значення враховується тільки в тому з них, який його перекриває. Інакше розраховуйте найбільше значення по граничним точкам інтервалу. Те ж робіть в ситуації, коли стаціонарних точок просто немає.
Зверніть увагу
Може вийти так, що односторонній межа візьме нескінченне значення. Тоді однозначно визначити найбільше значення можна, можна лише виявити максимальне значення (екстремум), до якого функція прагне.
