Як визначити область визначення функції

Як визначити область визначення функції

Всі операції з функцією можна робити тільки в тому множині, де вона визначена. Тому при дослідженні функції та побудови її графіка першу роль відіграє знаходження області визначення.

Інструкція

  1. Для того щоб знайти область визначення функції, потрібно виявити «небезпечні зони», тобто такі значення x, при яких функція не існує і потім виключити їх з безлічі дійсних чисел. На що ж варто звернути увагу?
  2. Якщо функція має вигляд y = g (x) / f (x), вирішите нерівність f (x) ≠ 0, тому що знаменник дробу не може дорівнювати нулю. Наприклад, y = (x +2) / (x-4), x-4 ≠ 0. Тобто областю визначення буде безліч (- ∞; 4) ∪ (4; + ∞).
  3. Коли при визначенні функції присутній корінь парному ступеня, вирішите нерівність, де значення під коренем буде більше або дорівнює нуля. Корінь парному мірою може бути взятий тільки з неотрицательного числа. Наприклад, y = √ (x-2), значить x-2 ≥ 0. Тоді областю визначення є безліч [2; + ∞).
  4. Якщо функція містить логарифм, вирішите нерівність, де вираз під логарифмом повинно бути більше нуля, тому що область визначення логарифма тільки позитивні числа. Наприклад, y = lg (x +6), тобто x +6> 0 і область визначення буде (-6; + ∞).
  5. Варто звернути увагу, якщо функція містить тангенс або котангенс. Область визначення функції tg (x) усі числа, крім x = Π / 2 + Π * n, ctg (x) - всі числа, крім x = Π * n, де n приймає цілі значення. Наприклад, y = tg (4 * x), тобто 4 * x ≠ Π / 2 + Π * n. Тоді область визначення (- ∞; Π / 8 + Π * n / 4) ∪ (Π / 8 + Π * n / 4; + ∞).
  6. Пам'ятайте, що зворотні тригонометричні функції - арксинус і арккосинус, визначені на відрізку [-1; 1], тобто якщо y = arcsin (f (x)) або y = arccos (f (x)), потрібно вирішити подвійне нерівність -1 ≤ f (x) ≤ 1. Наприклад, y = arccos (x +2), -1 ≤ x +2 ≤ 1. Областю визначення буде відрізок [-3; -1].
  7. Нарешті, якщо задана комбінація різних функцій, то область визначення є перетин областей визначення всіх цих функцій. Наприклад, y = sin (2 * x) + x / √ (x +2) + arcsin (x-6) + lg (x-6). Спочатку знайдіть область визначення всіх доданків. Sin (2 * x) визначений на всій числовій прямій. Для функції x / √ (x +2) вирішите нерівність x +2> 0 і область визначення буде (-2; + ∞). Область визначення функції arcsin (x-6) задається подвійним нерівністю -1 ≤ x-6 ≤ 1, тобто виходить відрізок [5; 7]. Для логарифма має місце нерівність x-6> 0, а це є інтервал (6; + ∞). Таким чином, областю визначення функції буде безліч (- ∞; + ∞) ∩ (-2; + ∞) ∩ [5; 7] ∩ (6; + ∞), то є (6; 7].