Як визначити періодичність функції

Як визначити періодичність функції

За шкільних уроків математики кожен пам’ятає графік синуса, рівномірними хвилями йде вдалину. Аналогічним властивістю — повторюватися через певний проміжок — володіють і багато інших функцій. Вони називаються періодичними. Періодичність — дуже важлива властивість функції, що часто зустрічається в різних завданнях. Тому корисно вміти визначати, чи є функція періодичною.

Інструкція

  1. Якщо F (x) — функція аргументу x, то вона називається періодичною, якщо є таке число T, що для будь-якого x F (x + T) = F (x). Це число T і називається періодом функції.

    Періодів може бути і декілька. Наприклад, функція F = const для будь-яких значень аргументу приймає одне і те ж значення, а тому будь-яке число може вважатися її періодом.

    Зазвичай математика цікавить найменший не рівний нулю період функції. Його для стислості і називають просто періодом.
  2. Класичний приклад періодичних функцій — тригонометричні: синус, косинус і тангенс. Їх період однаковий і рівний 2π, тобто sin (x) = sin (x + 2π) = sin (x + 4π) і так далі. Однак, зрозуміло, тригонометричні функції — не єдині періодичні.
  3. Щодо простих, базових функцій єдиний спосіб встановити їх періодичність або неперіодичних — обчислення. Але для складних функцій вже є кілька простих правил.
  4. Якщо F (x) — періодична функція з періодом T, і для неї визначена похідна, то ця похідна f (x) = F ‘(x) — теж періодична функція з періодом T. Адже значення похідної в точці x одно тангенсу кута нахилу дотичної графіка її первообразной в цій точці до осі абсцис, а оскільки первообразная періодично повторюється, то повинна повторюватися і похідна. Наприклад, похідна від функції sin (x) дорівнює cos (x), і вона періодична. Беручи похідну від cos (x), ви отримаєте-sin (x). Періодичність зберігається незмінно.

    Проте зворотне не завжди вірно. Так, функція f (x) = const періодична, а її первообразная F (x) = const * x + C — ні.
  5. Якщо F (x) — періодична функція з періодом T, то G (x) = a * F (kx + b), де a, b, і k — константи і k не дорівнює нулю — теж періодична функція, і її період дорівнює T / k. Наприклад sin (2x) — періодична функція, і її період дорівнює π. Наочно це можна представити так: примножуючи x на якесь число, ви як би стискаєте графік функції по горизонталі саме в стільки разів
  6. Якщо F1 (x) і F2 (x) — періодичні функції, і їх періоди дорівнюють T1 і T2 відповідно, то сума цих функцій теж може бути періодичною. Однак її період не буде простою сумою періодів T1 і T2. Якщо результат ділення T1/T2 — раціональне число, то сума функцій періодична, і її період дорівнює найменшого спільного кратного (НОК) періодів T1 і T2. Наприклад, якщо період першої функції дорівнює 12, а період другої — 15, то період їх суми буде дорівнює НОК (12, 15) = 60.

    Наочно це можна представити так: функції йдуть з різною «шириною кроку», але якщо відношення їх ширин раціонально, то рано чи пізно (а точніше, саме через НОК кроків), вони знову зрівняються, і їх сума почне новий період.
  7. Однак якщо співвідношення періодів ірраціонально, то сумарна функція не буде періодичної зовсім. Наприклад, нехай F1 (x) = x mod 2 (залишок від ділення x на 2), а F2 (x) = sin (x). T1 тут буде дорівнює 2, а T2 дорівнює 2π. Співвідношення періодів дорівнює π — ірраціонального числа. Отже, функція sin (x) + x mod 2 не є періодичною.