Як визначити потенціали точок


 

Поняття потенціалу знайшло дуже широке поширення не тільки в науці і техніці, а й у побуті. Так напруга в електричній мережі — це різниця потенціалів. Найбільш чітко це поняття досліджено в теорії поля, де воно виникає при вивченні спеціальних полів, частина яких є потенційними.


Інструкція

  1. Векторне поле утворює векторна величина, задана у вигляді функції точок поля М (x, y, z). Позначається як F = F (M) = F (x, y, z) або
    F = i ∙ P (x, y, z) + j ∙ Q (x, y, z) + k ∙ R (x, y, z), де P, Q, R — координатні функції. Найбільше застосування векторні поля отримали в теорії електромагнітного поля.
  2. Векторне поле називається потенційним в деякій області, якщо його можна представити у вигляді F (M) = grad (f (M)). При цьому
    f (M) = f (x, y, z) називається скалярним потенціалом векторного поля. Якщо F (M) = {P, Q, R}, то P = & partf / & partх, Q = & partf / & party, R = & partf / & partz. Відомо, що для будь скалярної функції f ротор її градієнта rot (gradf) = 0. Це рівність є необхідною і достатньою умовою потенційності F (M). Його можна перефразувати у вигляді:
    ∂ Q / ∂ х = ∂ P / ∂ y, ∂ P / ∂ z = ∂ R / ∂ х, ∂ R / ∂ y = ∂ Q / ∂ z.

  3. Як визначити потенціали точок

                            Обчислення потенціалу f потенційного поля F = i ∙ P (x, y, z) + j ∙ Q (x, y, z) + k ∙ R (x, y, z) проводиться на основі того, що в силу визначення df = F ∙ dr (мається на увазі скалярний твір). Тоді f = ∫ (Мо М) F ∙ dr = ∫ (Мо М) P ∙ dx + Q ∙ dy + R ∙ dz є криволінійний інтеграл другого роду уздовж довільної лінії від Мо до змінної точці М. Найпростіше використовувати ламану, відрізки якої паралельні координатним осям (умова потенційності збігається з умовою незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування) (див. рис. 1).
  4. Приступите до вирішення. Позначте x *, y *, z * координати змінної точки на шляху інтегрування.

    На відрізку МОА y * = yo, z * = zo, dy * = 0, dz * = 0 і ∫ (Мо А) Fdr = ∫ (Xо x) P (x *, yo, zo) ∙ dx * .
    На АВ x * = x, z * = zo, dx * = 0, dz * = 0 і ∫ (А В) F ∙ dr = ∫ (yо y) Q (x, y *, zo) ∙ dy *. < br />
    На ВМ x * = x, y * = y, dx * = 0, dy * = 0 і ∫ (В М) F ∙ dr = ∫ (zо z) R (x, y, z *) ∙ dz *. < br />
    Остаточно, f = ∫ (Xо x) P (x *, yo, zo) ∙ dx * + ∫ (yо y) Q (x, y *, zo) ∙ dy * + ∫ (zо z) R (x, y , z *) ∙ dz *.
        

  5. Приклад. Дано векторне поле F (x, y, z) = (2x ∙ y + z) i + (x ^ 2-2y) ∙ j + x ∙ k. Знайти його потенціал в точці М (1,2,1).
    Рішення. Перевірте, чи є задане поле потенційним. Для цього можна обчислити його ротор, але простіше використовувати рівності ∂ Q / ∂ х = ∂ P / ∂ y, ∂ P / ∂ z = ∂ R / ∂ х, ∂ R / ∂ y = ∂ Q / ∂ z. Тут P = 2x ∙ y + z, Q = x ^ 2-2y, R = x.

    ∂ Q / ∂ х = 2x, ∂ P / ∂ y = 2x — перше рівність виконано.
    ∂ P / ∂ z = 1, ∂ R / ∂ х = 1 друга рівність виконано.
    ∂ R / ∂ y = 0, ∂ Q / ∂ z = 0 — виконано і третє рівність.
    Тепер обчисліть потенціал, прийнявши за початкову точку (0,0,0) — це найпростіше. f = ∫ (0 x) 0 ∙ dx * + ∫ (0 y) ∙ (x ^ 2-y *) ∙ dy * + ∫ (0 z) ∙ x ∙ dz * = (x ^ 2) ∙ yy ^ 2 + x ∙ z. f (1,2,1) = -1.
        

Зверніть увагу

∫ (Мо М) — криволінійний інтеграл в межах дуги (від точки Мо до точки М, що належать дузі).