Як визначити тип диференціального рівняння


 

У математиці існує безліч різних типів рівнянь. Серед диференціальних також розрізняють кілька підвидів. Відрізнити їх можна по ряду істотних ознак, характерних для тієї чи іншої групи.



Вам знадобиться

— зошит;
- Ручка

Інструкція

  1. Якщо рівняння представлено у вигляді: dy / dx = q (x) / n (y), відносите їх до категорії диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними. Їх можна вирішити, записавши умова в дифференциалах за наступною схемою: n (y) dy = q (x) dx. Потім проінтегріруйте обидві частини. У деяких випадках рішення записується у вигляді інтегралів, взятих від відомих функцій. Наприклад, у разі dy / dx = x / y, вийде q (x) = x, n (y) = y. Запишіть його у вигляді ydy = xdx і проінтегріруйте. Має вийти y ^ 2 = x ^ 2 + c.
  2. До лінійним рівнянням відносите рівняння «першого ступеня». Невідома функція з її похідними входить в подібне рівняння лише в першого ступеня. Лінійне диференціальне рівняння має вид dy / dx + f (x) = j (x), де f (x) і g (x) — функції, що залежать від x. Рішення записується за допомогою інтегралів, взятих від відомих функцій.
  3. Врахуйте, що багато диференціальні рівняння — це рівняння другого порядку (що містять другі похідні) Таким, наприклад, є рівняння простого гармонійного руху, записане у вигляді загальної формули: md 2x/dt 2 =-kx. Такі рівняння мають, в основному, приватні рішення. Рівняння простого гармонійного руху є прикладом досить важливого класу: лінійних диференціальних рівнянь, у яких є постійний коефіцієнт.
  4. Розгляньте більш загальний приклад (другого порядку): рівняння, де у і z — є заданими постійними, f (x) — задана функція. Подібні рівняння можна вирішити різними способами, наприклад, за допомогою інтегрального перетворення. Це ж саме можна сказати і про лінійні рівняння вищих порядків, які мають постійні коефіцієнти.
  5. Візьміть до відома, що рівняння, які містять невідомі функції, а також їх похідні, які стоять в ступені вище першої, називаються нелінійними. Рішення нелінійних рівнянь досить складні і тому, для кожного з них використовується свій окремий випадок.