Як визначити точки розриву функції


 

Щоб визначити точку розриву функції, необхідно дослідити її на безперервність. Це поняття, в свою чергу, пов’язано з перебуванням лівостороннього і правостороннього меж в цій точці.


Інструкція

  1. Точка розриву на графіку функції виникає тоді, коли в ній порушується неперервність функції. Для того, щоб функція була безперервною, необхідно і достатньо, щоб його лівобічний і правобічний межі в цій точці були рівні між собою і збігалися зі значенням самої функції.
        
  2. Існує два типи точок розриву — першого і другого роду. У свою чергу, точки розриву першого роду бувають переборні і непереборні. Устранімим розрив з’являється, коли односторонні межі рівні між собою, але не збігаються зі значенням функції в цій точці.
        
  3. І навпаки, він є непереборним, коли межі не рівні між собою. У цьому випадку точка розриву першого роду називається стрибком. Розрив другого роду характеризується нескінченним або не існуючим значенням як мінімум одного з односторонніх меж.
        
  4. Щоб дослідити функцію на точки розриву і визначити їх рід, розділіть задачу на кілька етапів: знайдіть область визначення функції, визначте межі функції зліва і справа, порівняйте їх значення зі значенням функції, визначте тип і рід розриву.
        
  5. Приклад.
    Знайдіть точки розриву функції f (x) = (x ² — 25) / (x — 5) та визначте їх тип.
        
  6. Рішення.
    1. Знайдіть область визначення функції. Очевидно, що безліч її значень нескінченно за винятком точки x_0 = 5, тобто x ∈ (- ∞; 5) ∪ (5; + ∞). Отже, точкою розриву приблизно може бути тільки вона;
    2. Обчисліть односторонні межі. Вихідну функцію можна спростити до вигляду f (x) -> g (x) = (x + 5). Неважко побачити, що ця функція неперервна при будь-якому значенні x, тому її односторонні межі рівні між собою: lim (x + 5) = 5 + 5 = 10.
        
  7. 3. Визначте, чи збігаються значення односторонніх меж і функції в точці x_0 = 5:
    f (x) = (x ² — 25) / (x — 5). Функція не може бути визначена в цій точці, тому що тоді знаменник звернеться в нуль. Отже, в точці x_0 = 5 функція має устранімим розрив першого роду.
        
  8. Розрив другого роду називається нескінченним. Наприклад, знайдіть точки розриву функції f (x) = 1 / x і визначте їх тип.
    Рішення.
    1. Область визначення функції: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
    2. Очевидно, що лівобічний межа функції прагне до — ∞, а правобічний — до + ∞. Отже, точка x_0 = 0 є точкою розриву другого роду.