Як визначити точку екстремуму


 

Під екстремумами в математиці розуміють мінімальне і максимальне значення певної функції на заданій множині. Точка, в якій функція досягає екстремуму, іменується точкою екстремуму. У практиці математичного аналізу іноді виділяють також поняття локальних мінімумів і максимумів функції.



Інструкція

  1. Знайдіть похідну функції. Наприклад, для функції y = 2x / (x * x + 1) похідна буде обчислюватися наступним чином:
    y ‘= (2 (x * x + 1) — 2x * 2x) / (x * x + 1) * (x * x + 1) = (2 — 2x * x) / (x * x + 1) * (x * x + 1).
        
  2. Прирівняти знайдену похідну до нуля:
    (2 — 2x * x) / (x * x + 1) * (x * x + 1) = 0;
    2 — 2x * x = 0;
    (1 — x) (1 + x) = 0.
        
  3. Визначте значення змінної отриманого виразу, тобто те значення, при якому змінна стає рівною нулю. Для розглянутого прикладу отримаємо:
    x1 = 1, x2 = -1.
        
  4. Використовуючи отримані на попередньому кроці значення, розбийте координатну пряму на проміжки. Нанесіть на пряму також точки розриву функції. Сукупність таких точок на осі координат називається точками, «підозрілими» на екстремум. У нашому прикладі пряма буде розбита на три проміжку: від мінус нескінченності до -1; від -1 до +1; від 1 до плюс нескінченності.
  5. Обчисліть, на яких з вийшов проміжків похідна функції буде позитивною, а на яких вона прийме негативне значення. Для цього підставте значення з проміжку в похідну.
  6. Для першого проміжку візьміть, наприклад, значення -2. При цьому похідна буде дорівнювати -0,24. Для другого проміжку візьміть значення 0; похідна функції складе -0,24. Взяте на третьому проміжку значення, рівне 2, дасть похідну -0,24.
  7. Розгляньте послідовно всі проміжки між точками, що з’єднують відрізки. Якщо при проходженні через «підозрілу» точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то така точка буде максимумом функції. Якщо має місце зміна знаку з мінуса на плюс, перед нами точка мінімуму.
  8. Як ми бачимо з прикладу, проходячи через точку -1, похідна функції змінює знак з мінуса на плюс. Іншими словами, це і є точка мінімуму. При проходженні через 1 знак змінюється з плюса на мінус, тому ми маємо справу з екстремумів, званим точкою максимуму функції.
  9. Обчисліть значення розглянутої функції на кінцях відрізка і знайдених точках екстремуму. Виберіть найменше та найбільше значення.