Як визначити центр маси


 

Центр мас — найважливіша геометрична і технічна характеристика тіла. Без обчислення його координат неможливо уявити конструювання в машинобудуванні, рішення задач будівництва та архітектури. Точне визначення координат центру маси проводиться за допомогою інтегрального числення.



Інструкція


  1. Як визначити центр маси

                  Починати завжди слід від простого, поступово переходячи до більш складних ситуацій. Виходите з того, що визначення підлягає центр маси безперервної плоскої фігури D, щільність якої ρ постійна і рівномірно розподілена в її межах. Аргумент х змінюється від а до b, y від c до d. Розбийте фігуру сіткою вертикальних (x = x (i-1), x = xi (i = 1,2, …, n)) і горизонтальних прямих (y = y (j-1), y = xj (j = 1, 2, …, m)) на елементарні прямокутники з підставами Δхi = xi-x (i-1) і висотами Δyj = yj-y (j-1) (див. рис. 1). При цьому середину елементарного відрізка Δхi знайдіть як ξi = (1/2) [xi + x (i-1)], а висоту Δyj як ηj = (1/2) [yj + y (j-1)]. Оскільки щільність розподіляється рівномірно, то центр маси елементарного прямокутника співпаде з її географічним центром. Тобто Хцi = ξi, Yцi = ηj.

  2. Як визначити центр маси

                  Масу М плоскої фігури (якщо вона невідома), обчисліть як добуток щільності на площу. Замініть елементарну площу на ds = ΔхiΔyj = dxdy. Уявіть Δmij у вигляді dM = ρdS = ρdxdy та отримайте її масу за формулою, наведеною на малюнку. 2a. При малих збільшеннях вважайте, що маса Δmij, зосереджена в матеріальній точці з координатами Хцi = ξi, Yцi = ηj. З задач механіки відомо, що кожна координата центра мас системи матеріальних точок дорівнює дробу, чисельник якого містить суму статичних моментів мас mν щодо відповідної осі, а знаменник дорівнює сумі цих мас. Статичний момент маси mν, щодо осі 0х дорівнює уν * mν, а щодо 0у хν * mν.
  3. Застосуйте це правило до ситуації, що розглядається та отримайте приблизні значення статичних моментів Јх і Ју у вигляді Ју ≈ {ΣξνρΔxνΔyν}, Јх ≈ {ΣηνρΔxνΔyν} (підсумовування проводилося за ν від 1 до N). Вхідні в останнє вираження суми є інтегральними. Перейдіть до меж від них при Δхν → 0 Δyν → 0 і запишіть остаточні формули (див. рис. 2b). Координати центра мас знаходите діленням відповідного статистичного моменту на загальну масу фігури М.

  4. Як визначити центр маси

                  Методологія отримання координат центру мас просторової фігури G відрізняється лише тим, що виникають потрійні інтеграли, а статичні моменти розглядаються щодо координатних площин. Не слід забувати і що щільність не обов’язково постійна, тобто ρ (x, y, z) ≠ const. Тому остаточний і самйи загальна відповідь має вигляд (див. рис. 3).