Як визначити відповідність низки

Як визначити відповідність низки

Числовим рядом називають суму членів нескінченної послідовності. Частковими сумами ряду називають суму перших n членів ряду. Ряд буде збіжним, якщо сходиться послідовність його часткових сум.

Вам знадобиться

Уміння обчислювати межі послідовностей.

Інструкція

  1. Визначте формулу загального члена ряду. Нехай дано ряд x1 + x2 + … + xn + …, його загальний член має вигляд xn. Скористайтеся ознакою Коші визначення збіжності ряду. Порахуйте межа lim ((xn) ^ (1 / n)) при n прагне до ∞. Нехай він існує і дорівнює L, тоді якщо L <1, то ряд сходиться, якщо L> 1, то ряд розходиться, а якщо L = 1, то необхідно додатково досліджувати ряд на збіжність.
  2. Розгляньте приклади. Нехай дано ряд 1 / 2 +1 / 4 +1 / 8 + …, загальний член ряду представляється у вигляді 1 / (2 ^ n). Знайдіть межа lim ((1 / (2 ^ n) ^ (1 / n)) при n прагне до ∞. Цей межа дорівнює 1 / 2 <1 і, отже, ряд 1 / 2 +1 / 4 +1 / 8 + … сходиться. Або, наприклад, нехай є ряд 1 +16 / 9 +216 / 64 + …. Уявіть загальний член ряду у вигляді формули (2 × n / (n +1)) ^ n. Порахуйте межа lim (((2 × n / (n +1)) ^ n) ^ (1 / n)) = lim (2 × n / (n +1)) при n прагне до ∞. Межа дорівнює 2> 1, тобто даний ряд розходиться.
  3. Визначте відповідність низки за ознакою Даламбера. Для цього порахуйте межа lim ((xn +1) / xn) при n прагне до ∞. Якщо ця межа існує і дорівнює M <1, то ряд сходиться, якщо M> 1, то ряд розходиться. Якщо M = 1, то ряд може бути збіжним і розбіжним.
  4. Вивчіть кілька прикладів. Нехай дано ряд Σ (2 ^ n / n!). Порахуйте межа lim ((2 ^ (n +1) / (n +1 )!)×( n! / 2 ^ n)) = lim (2 / (n +1)) при n прагне до ∞. Він дорівнює 0 <1 і даний ряд є збіжним. Нехай тепер дано ряд Σn! × (6 / n) ^ n. Обчисліть межа lim ((n +1)! × 6 ^ (n +1) × n ^ n) / ((n +1) ^ (n +1) × n! × 6 ^ n) = lim (6 / ( 1 +1 / n) ^ n) = 6 / e> 1 і означає даний ряд розходиться.
  5. Скористайтеся ознакою Лейбніца для Знакозмінні ряду за умови, що xn> x (n +1). Порахуйте межа lim (xn) при n прагне до ∞. Якщо ця межа дорівнює 0, то ряд сходиться, його сума позитивна і не перевершує першого члена ряду. Наприклад, нехай дано ряд 1-1/2 +1/3-1 / 4 + …. Зауважте, що 1> 1 / 2> 1 / 3> …> 1 / n> …. Загальний член ряду буде 1 / n. Порахуйте межа lim (1 / n) при n прагне до ∞. Він дорівнює 0 і, отже, ряд сходиться.

Зверніть увагу

Знак ^ позначає зведення в ступінь.