Як визначити відстань від точки до площини

Як визначити відстань від точки до площини

Визначення відстані від точки до площини — одна з поширених завдань шкільної планіметрії. Як відомо, найменшою відстанню від точки до площини буде перпендикуляр, проведений із цієї точки до даної площини. Тому довжина цього перпендикуляра і приймається за відстань від точки до площини.

Вам знадобиться

рівняння площини

Інструкція

  1. У тривимірному просторі можна визначити декартову систему координат з осями X, Y і Z. Тоді у будь-якої точки в цьому просторі завжди будуть визначені координати x, y і z. Нехай задана точка з координатами x0, y0, z0.

    Рівняння площини виглядає так: ax + by + cz + d = 0.
  2. Відстань від заданої точки до заданої точки, тобто довжина перпендикуляра, знаходиться по формулі: r = | ax0 + by0 + cz0 + d | / sqrt ((a ^ 2) + (b ^ 2) + (c ^ 2)). Справедливість цієї формули можна довести за допомогою параметричних рівнянь прямої, або за допомогою скалярного твори векторів.
  3. Існує також поняття відхилення точки від площини. Площина можна задати нормованим рівнянням: x * cosα + y * cosβ + z * cosγ-p = 0, де p — відстань від площини до початку координат. У нормованому рівнянні задані напрямні косинуси вектора N = (a, b, c), перпендикулярному площині, де a, b, c — константи, що визначають рівняння площини.

    Відхилення точки M з коордінататамі x0, y0 і z0 від площини, заданої нормованим рівнянням, записується у вигляді: δ = x0 * cosα + y0 * cosβ + z0 * cosγ-p. δ> 0, якщо точка M і початок координат лежать по різні сторони площини, інакше δ <0.

    Відстань від точки до площини дорівнює r = | δ |.