Як взяти інтеграл


 

В даний час існує велика кількість інтегровних функцій, але окремо варто розглянути найбільш загальні випадки інтегрального числення, які дозволять скласти певне уявлення про цю області вищої математики.


Вам знадобиться

— папір;
- Ручка.

Інструкція


  1. Як взяти інтеграл

                            Для простоти опису даного питання слід ввести наступне позначення (див. рис. 1).

    Розгляньте обчислення інтегралів int (R (x) dx), де R (x) — раціональна функція або раціональна дріб, яка представляє собою відношення двох многочленів:

    R (x) = Pm (x) / Qn (x) = (b0x ^ m + b1x ^ (m-1) + … + b (m-1) x + bm) / (a0x ^ m + a1x ^ (m-1) + … + a (n-1) x + an),

    де Рm (х) і Qn (х) — многочлени з дійсними коефіцієнтами. Якщо m

    Pm (x) / Qn (x) = M (mn) (x) + Ur (x) / Qn (x)

    де r

  2. Тепер слід розглянути інтегрування правильних дробів. Серед них виділяють найпростіші дроби наступних чотирьох типів:

    1. A / (x-a);
    2. A / ((x-b) ^ k), k = 1,2,3, …;
    3. (Ax + B) / (x ^ 2 +2 px + q), q-p ^ 2> 0;
    4. (Cx + D) / ((x ^ 2 +2 mx + n)) ^ s, де nm ^ 2> 0, s = 1,2,3, ….

    Многочлен x ^ 2 + 2px + q не має дійсних коренів, так як qp ^ 2> 0. Аналогічна ситуація і в пункті 4.
        

  3. Розгляньте інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від дробів 1-ого та другого типів обчислюються безпосередньо:

    int (A / (x-a)) dx = A / ln | x-a | + C;

    int (A / ((xb) ^ k) dx = — (1 / (k-1)) A / ((xb) ^ (k-1) + C, C = const.

    Обчислення інтеграла від дробу 3-ого типу доцільніше проводити на конкретних прикладах хоча б через те, що це простіше. Дроби четвертого типу в даній статті не розглядаються.

  4. Будь правильна раціональна дріб може бути представлена ​​у вигляді суми кінцевого числа найпростіших дробів (при цьому мається на увазі, що многочлен Qn (x) розкладено у твір лінійних і квадратичних множників).

    Um (x) / Qn (x) = A / (xa) + A1 / (xb) + A2 / (xb) ^ 2 + … + Ak / (xb) ^ k + … + (Mx + N) / (x ^ 2 +2 px + q) + + (M1x + N1) / (x ^ 2 +2 mx + n) + … + (Mrx + Nr) / (x ^ 2 +2 mx + n) ^ r.

    Наприклад, якщо в розкладанні твори Qn (x) з’явилося (xb) ^ 3, то в суму найпростіших дробів це внесе трійку доданків A1 / (xb) + A2 / (xb) ^ 2 + A3 / (xb) ^ 3 .

    Подальші дії полягають у поверненні до суми дробів, тобто у приведенні до спільного знаменника. При цьому дріб зліва володіє «істинним» чисельником, а праворуч — чисельником з невизначеними коефіцієнтами. Так як знаменники однакові, то слід прирівняти один до одного чисельники. При цьому в першу чергу необхідно скористатися тим правилом, що многочлени рівні один одному, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях. Таке рішення завжди дасть позитивний результат. Його можна скоротити, якщо ще до приведення подібних в многочлене з невизначеними коефіцієнтами зуміти «засікти» нулі деяких доданків.

  5. Приклад. Знайти int ((x / (1-x ^ 4)) dx).
    Розкладіть знаменник дробу в твір.
     1-x ^ 4 = (1-x) (1 + x) (x ^ 2 +1). (X ^ 2) / (1-x ^ 4) = A / (1-x) + B / (x +1) + (Cx + D) / (x ^ 2 +1).

    Наведіть суму до спільного знаменника і прирівняти чисельники дробів в обох частинах рівності.

    х = A (x +1) (x ^ 2 +1) + B (1-x) (x ^ 2 +1) + (Cx + D) (1-x ^ 2)
    Зауважте, що
    При х = 1: 1 = 4А, А = 1/4.
    При х = — 1: 1 = 4В, В = -1 / 4.
    Коефіцієнти при x ^ 3: ABC = 0, звідки С = 1/2.
    Коефіцієнти при x ^ 2: A + BD = 0 і D = 0.

    x / (1-x ^ 4) = — (1/4) (1 / (x +1)) — (1/4) / (x-1) + (1/2) (х / ( x ^ 2 +1)).
    int (x / (1-x ^ 4)) dx) = — (1/4) int ((1 / (x +1)) dx) — (1/4) int ((1 / (x-1) ) dx) + (1/4) int ((1 / (x ^ 2 +1)) d (x ^ 2 +1) =
    = — (1/4) ln | x +1 | — (1/4) ln | x-1 | + (1/4) ln (x ^ 2 +1) + C = (1/4) ln | ( x ^ 2 +1) / (x ^ 2-1) | + C.
        

Корисні поради

Література. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення. Підручник для Втузов. Т.1.-М.: Наука, 1972.-576 с.