Як змінити час і дальність польоту тіла


 

Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, описується у двох координатах. Одна характеризує дальність польоту, інша — висоту. Час польоту залежить саме від максимальної висоти, яку досягає тіло.



Інструкція


  1. Як змінити час і дальність польоту тіла

                            Нехай тіло кинуто під кутом α до горизонту з початковою швидкістю v0. Початкові координати тіла нехай будуть нульовими: x (0) = 0, y (0) = 0. В проекціях на координатні осі початкова швидкість розкладеться за двома складовими: v0 (x) і v0 (y). Те ж саме відноситься до функції швидкості взагалі. По осі Ox швидкість умовно вважається постійною, по осі Oy змінюється під впливом сили тяжіння. Прискорення вільного падіння g можна прийняти приблизно за 10м / с ².
  2. Кут α, під яким кинуто тіло, заданий не випадково. Через нього можна розписати початкову швидкість в координатних осях. Так, v0 (x) = v0 · cos (α), v0 (y) = v0 · sin (α). Тепер можна отримати функцію координатних складових швидкості: v (x) = const = v0 (x) = v0 · cos (α), v (y) = v0 (y)-g · t = v0 · sin (α)-g · t.
  3. Координати тіла x і y залежать від часу t. Таким чином, можна скласти два рівняння залежності: x = x0 + v0 (x) · t + a (x) · t ² / 2, y = y0 + v0 (y) · t + a (y) · t ² / 2. Оскільки за умовою x0 = 0, a (x) = 0, то x = v0 (x) · t = v0 · cos (α) · t. Також відомо, що y0 = 0, a (y) =-g (знак «мінус» з’являється від того, що напрямок прискорення вільного падіння g і позитивний напрямок осі Oy протилежні). Тому y = v0 · sin (α) · t-g · t ² / 2.
  4. Час польоту можна виразити з формули швидкості, знаючи, що в максимальній точці тіло на мить зупиняється (v = 0), а тривалості «підйому» і «спуску» рівні. Отже, при підстановці v (y) = 0 в рівняння v (y) = v0 · sin (α)-g · t виходить: 0 = v0 · sin (α)-g · t (p), де t (p) — пікове час, «t вершинний». Звідси t (p) = v0 · sin (α) / g. Загальний час польоту тоді виразиться як t = 2 · v0 · sin (α) / g.
  5. Ту ж формулу можна отримати і іншим способом, математичним, з рівняння для координати y = v0 · sin (α) · tg · t ² / 2. Це рівняння можна переписати в трохи зміненому вигляді: y =-g / 2 · t ² + v0 · sin (α) · t. Видно, що це квадратична залежність, де y — функція, t — аргумент. Вершиною параболи, що описує траєкторію, є точка t (p) = [-v0 · sin (α)] / [-2g / 2]. Мінуси і двійки скорочуються, тому t (p) = v0 · sin (α) / g. Якщо позначити максимальну висоту за H і згадати, що пікова точка є вершиною параболи, по якій рухається тіло, то H = y (t (p)) = v0 ² sin ² (α) / 2g. Тобто, щоб отримати висоту, треба «t вершинний» підставити в рівняння для координати y.
  6. Отже, час польоту записується як t = 2 · v0 · sin (α) / g. Щоб його змінити, треба відповідно змінювати початкову швидкість і кут нахилу. Чим більше швидкість — тим довше летить тіло. З кутом дещо складніше, адже час залежить не від самого кута, а від його синуса. Максимально можливе значення синуса — одиниця — досягається при куті нахилу в 90 °. Це означає, що найдовше тіло летить тоді, коли його кидають вертикально вгору.
  7. Дальність польоту є кінцевою координатою x. Якщо підставити знайдене вже час польоту в рівняння x = v0 · cos (α) · t, то легко знайти, що L = 2v0 ² sin (α) cos (α) / g. Тут можна застосувати тригонометричну формулу подвійного кута 2sin (α) cos (α) = sin (2α), тоді L = v0 ² sin (2α) / g. Синус двох альфа дорівнює одиниці тоді, коли 2α = п / 2, α = п / 4. Таким чином, дальність польоту максимальна в тому випадку, якщо тіло кинути під кутом 45 °.