Як знаходити асимптоти

Як знаходити асимптоти

Асимптотой графіка функції у = f (x) називається пряма, графік якої необмежено прибл-жается до графіка функції при необмеженій видаленні довільної точки M (x, y), що належить f (x) на нескінченність (позитивну чи негативну), ніколи не перетинаючи графік функції. Видалення точки на нескінченність увазі під собою і випадок, коли до нескінченності прагне тільки ордината або абсциса у = f (x). Розрізняють вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти.

Вам знадобиться

- Папір;
- Ручка;
- Лінійка.

Інструкція

  1. На практиці вертикальні асимптоти відшукуються зовсім просто. Це точки нулів знаменника функції f (x).

    Вертикальна асимптота — це вертикальна пряма. Її рівняння x = a. Тобто при х прагнуть до a (праворуч або ліворуч), функція прагне до нескінченності (позитивної або негативної).
  2. Горизонтальна асимптота — це горизонтальна пряма y = A, до якої графік функції необмежено наближається при прагненні х до нескінченності (позитивної чи негативно) (див. рис.1), тобто
  3. Похилі асимптоти знаходять трохи складніше. Визначення їх залишається колишнім, але задаються вони рівнянням прямої лінії y = kx + b. Відстань від асимптоти до графіка функції тут, у відповідності з малюнком 1 складає | MP |. Очевидно, що якщо | MP | прагне до нуля, то до нуля прагне і довжина відрізка | MN |. Точка М — ордината асимптоти, N — функції f (x). Абсциса у них спільна.

        Відстань | MN | = f (xM) — (kxM + b) або просто f (x) — (kx + b), де k — тангенс кута нахилу пряної (асимптоти) до осі абсцис. f (x) — (kx + b) прагне до нуля, тому k можна знайти як межа відносини (f (x) — b) / г, при х прагне до нескінченності (див. рис.2).
  4. Після знаходження k, слід визначити b, обчисливши межа різниці f (x) — kх, при х прагнуть до нескінченності (див. рис.3).

    Далі вам необхідно побудувати графік асимптоти, також як і прямий y = kx + b.
  5. Приклад. Знайти асимптоти графіка функції y = (x ^ 2 +2 x-1) / (x-1).

    1. Очевидна вертикальна асимптота x = 1 (як нуль знаменника).

    2. y / x = (x ^ 2 +2 x-1) / (x-1) x = (x ^ 2 +2 x-1) / (x ^ 2-x). Тому, обчисливши межа

    на нескінченності від останньої раціональної дробу, получіттся k = 1.

    f (x)-kx = (x ^ 2 +2 x-1) / (x-1) — x = (x ^ 2 +2 x-1-x ^ 2 + x) / (x-1) = 3x / ( x-1) — 1 / (x-1).

    Таким чином, ви отримаєте b = 3. . вихідне рівняння похилій асимптоти матиме вигляд: y = x +3 (див. рис.4).