Як знаходити інтеграл


 

Поняття інтеграла прямо пов’язане з поняттям первісної функції. Іншими словами, щоб знайти інтеграл зазначеної функції, потрібно знайти таку функцію, по відношенню до якої початкова буде похідною.



Інструкція

  1. Інтеграл відноситься до понять математичного аналізу і графічно являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженої на осі абсцис граничними точками інтегрування. Знаходити інтеграл функції значно складніше, ніж шукати її похідну.
        
  2. Існує кілька методів обчислення невизначеного інтеграла: безпосереднє інтегрування, введення під знак диференціала, метод підстановки, інтегрування по частинах, підстановка Вейерштрасса, теорема Ньютона-Лейбніца і ін
        
  3. Безпосереднє інтегрування передбачає приведення за допомогою простих перетворень вихідного інтеграла до табличному значенню. Наприклад:
    ∫ dy / (sin ² y · cos ² y) = ∫ (cos ² y + sin ² y) / (sin ² y · cos ² y) dy = ∫ dy / sin ² y + ∫ dy / cos ² y =-ctgy + tgy + C.
        
  4. Метод введення під знак диференціала або заміна змінної являє собою постановку нової змінної. При цьому вихідний інтеграл зводиться до нового інтегралу, який можна перетворити до табличному увазі методом безпосереднього інтегрування:
    Нехай є інтеграл ∫ f (y) dy = F (y) + C і деяка змінна v = g (y), тоді:
    ∫ f (y) dy -> ∫ f (v) dv = F (v) + C.
        
  5. Слід запам’ятати деякі найпростіші підстановки для полегшення роботи з цим методом:
    dy = d (y + b);
    ydy = 1/2 · d (y ² + b);
    sinydy = — d (cosy);
    cosydy = d (siny).
        
  6. Приклад:
    ∫ dy / (1 + 4 · y ²) = ∫ dy / (1 + (2 · y) ²) = [dy -> d (2 · y)] = 1/2 · ∫ d (2 · y) / (1 + (2 · y) ²) = 1/2 · arctg2 · y + C.
        
  7. Інтегрування по частинах проводиться за наступною формулою:
    ∫ udv = u · v — ∫ vdu.
    Приклад:
    ∫ y · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) — ∫ (-cosy) dy =-y · cosy + siny + C.
        
  8. Певний інтеграл в більшості випадків знаходиться за теоремою Ньютона-Лейбніца:
    ∫ f (y) dy на інтервалі [a; b] дорівнює F (b) — F (a).
    Приклад:
    Знайдіть ∫ y · sinydy на інтервалі [0; 2π]:
    ∫ y · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) — ∫ (-cosy) dy = (-2π · cos2π + sin2π) — (-0 · cos0 + sin0) =-2π.