Як знаходити косинус в трикутнику

Як знаходити косинус в трикутнику

Нерідко в геометричних (тригонометричних) задачах потрібно знайти косинус кута в трикутнику, бо косинус кута дозволяє однозначно визначити величину самого кута.

Інструкція

  1. Щоб знайти косинус кута в трикутнику, довжини сторін якого відомі, можна скористатися теоремою косинусів. Відповідно до цієї теореми, квадрат довжини сторони довільного трикутника дорівнює сумі квадратів двох його інших сторін без подвоєного твори довжин цих сторін на косинус кута між ними:

    а ² = b ² + c ² -2 * b * c * соsα, де:

    а, b, з — сторони трикутника (точніше їх довжини),

    α — кут, протилежний стороні а (його величина).

    З наведеного рівності легко знаходиться соsα:

    соsα = (b ² + c ²-а ²) / (2 * b * c)

    Приклад 1.

    Є трикутник зі сторонами а, b, с, рівними 3, 4, 5 мм, відповідно.

    Знайти косинус кута, укладеного між великими сторонами.

    Рішення:

    За умовою задачі маємо:

    а = 3,

    b = 4,

    з = 5.

    Позначимо протилежний стороні а кут через α, тоді, згідно виведеною вище формулою, маємо:

    соsα = (b ² + c ²-а ²) / (2 * b * c) = (4 ² +5 ² -3 ²) / (2 * 4 * 5) = (16 +25-9) / 40 = 32/40 = 0, 8

    Відповідь: 0,8.
  2. Якщо трикутник прямокутний, то для знаходження косинуса кута достатньо знати довжини всього двох будь-яких сторін (косинус прямого кута дорівнює 0).

    Нехай є прямокутний трикутник зі сторонами а, b, с, де с — гіпотенуза.

    Розглянемо всі варіанти:

    Приклад 2.

    Знайти соsα, якщо відомі довжини сторін а та b (катети трикутника)

    Скористаємося додатково теоремою Піфагора:

    c ² = b ² + а ²,

    з = √ (b ² + а ²)

    соsα = (b ² + c ²-а ²) / (2 * b * c) = (b ² + b ² + а ²-а ²) / (2 * b * √ (b ² + а ²))=( 2 * b ²) / (2 * b * √ (b ² + а ²)) = b / √ (b ² + а ²)

    Щоб перевірити правильність отриманої формули, підставимо в неї значення з прикладу 1, тобто

    а = 3,

    b = 4.

    Проробивши елементарні обчислення, отримуємо:

    соsα = 0,8.
  3. Аналогічно знаходиться косинус в прямокутному трикутнику в інших випадках:

    Приклад 3.

    Відомі а і з (гіпотенуза і катет протилежні), знайти соsα

    b ² = с ²-а ²,

    b = √ (c ²-а ²)

    соsα = (b ² + c ²-а ²

    Підставляючи значення а = 3 і з = 5 з першого прикладу, отримуємо:

    соsα = 0,8.
  4. Приклад 4.

    Відомі b і з (гіпотенуза і прилегла катет).

    Знайти соsα

    Провівши аналогічні (показані в прикладах 2 і 3 перетворення), отримаємо, що в цьому випадку косинус в трикутнику обчислюється за дуже простою формулою:

    соsα = b / с.

    Простота виведеної формули пояснюється елементарно: фактично, прилегла до кута α катет є проекцією гіпотенузи, тому його довжина дорівнює довжині гіпотенузи, помноженої на соsα.

    Підставляючи значення b = 4 і з = 5 з першого прикладу, отримаємо:

    соsα = 0,8

    Значить, всі наші формули вірні.