Як знаходити межі функцій


 

Розрахунок меж функцій — фундамент математичного аналізу, якому присвячено чимало сторінок в підручниках. Проте часом не зрозуміло не тільки визначення, а й сама суть межі. Говорячи простою мовою, межа — це наближення однієї змінної величини, яка залежить від іншої, до якогось конкретного єдиному значенню в міру зміни цієї іншої величини. Для успішного обчислення досить тримати в умі простий алгоритм рішення.


Інструкція

  1. Підставте граничну точку (прагне до якого-небудь числа «х») в вираз після знаку межі. Такий спосіб найбільш простий і економить багато часу, оскільки в результаті виходить однозначне число. Якщо ж виникають невизначеності, то слід скористатися наступними пунктами.
  2. Пам’ятайте визначення похідної. З нього випливає, що швидкість зміни функції нерозривно пов’язана з межею. Отже, обчислюйте будь межа через похідну за правилом Бернуллі-Лопіталя: межа двох функцій дорівнює відношенню їх похідних.
  3. Скоротіть кожний доданок на старшу ступінь змінної, що стоїть в знаменнику. В результаті обчислень у вас вийде чи нескінченність (якщо старша ступінь знаменника більше такої ж міри чисельника), або нуль (навпаки), або деяке число.
        
  4. Спробуйте розкласти дріб на множники. Правило ефективно при невизначеності виду 0/0.
  5. Помножте чисельник і знаменник дробу на поєднане вираз, особливо якщо після «lim» є коріння, що дають невизначеність виду 0/0. В результаті вийде різниця квадратів без ірраціональності. Наприклад, якщо в чисельнику стоїть ірраціональне вираз (2 кореня), то потрібно помножити на рівне йому, зі зворотним знаком. З знаменника коріння не підуть, однак їх можна буде порахувати, виконавши п.1.
        

Корисні поради

При обчисленнях пам’ятайте, що будь-яке число, поділене на нескінченність, є нескінченно мала величина, яку при розрахунках можна прийняти рівною нулю.

Користуйтеся теоремами про межі для вирішення найпростіших завдань, особливо тригонометричних, але не забувайте прораховувати, до чого прагне вираз під знаком межі.

При утрудненнях використовуйте онлайн-калькулятори, які можна легко знайти в інтернеті.

Виносьте постійні множники (числа) за знак межі.