Як знаходити межі послідовності


 

Вивчення методології обчислення меж починається саме з обчислення меж послідовностей, де немає великого різноманіття. Причина — аргумент завжди натуральне число n, що прагне до позитивної нескінченності. Тому все більш складні випадки (в процесі еволюції процесу навчання) випадають на долю функцій.


Інструкція

  1. Числову послідовність можна розуміти як функцію xn = f (n), де n — натуральне число (позначається {xn}). Самі числа xn називаються елементами або членами послідовності, n — номер члена послідовності. Якщо функція f (n) задана аналітично, тобто формулою, то xn = f (n) називають формулою загального члена послідовності.

  2. Як знаходити межі послідовності

                             Число а називається межею послідовності {xn}, якщо для будь-якого ε> 0 існує номер n = n (ε), починаючи з якого виконується нерівність | xn-a |

    Особливий інтерес представляє межа послідовності (див. рис. 1b).
    Тут е = 2,718281828459045 … — трансцендентне число, зване числом Ейлера, яке в математиці є підставою натурального логарифма.

  3. Перший спосіб обчислення границі послідовності заснований на її визначенні. Правда слід запам’ятати, що шляхів безпосереднього пошуку межі він не дає, а дозволяє лише довести, що будь-яке число а є (або не є) межею.

    Приклад 1. Довести, що послідовність {xn} = {(3n ^ 2-2n-1) / (n ^ 2-n-2)} має межу а = 3.
    Рішення. Проводите доказ шляхом застосування визначення в зворотному порядку. Тобто справа наліво. Попередньо перевірте — чи немає можливості спростити формулу для xn.
    хn = (3n ^ 2 +4 n +2) / (n ^ 2 +3 n22) = ((3n +1) (n +1)) / ((n +2) (n +1)) =) = (3n +1) / (n +2).
    Розгляньте нерівність | (3n +1) / (n +2) -3 | 5 / ε,
     n> -2 +5 / ε. Отримали, що при кожному ε> 0 можна знайти будь-яке натуральне число nε, більше -2 +5 / ε.

  4. Приклад 2. Довести, що в умовах прикладу 1 число а = 1 не є межею послідовності попереднього прикладу.
    Рішення. Знову спростіть загальний член послідовності. Візьміть ε = 1 (це будь-яке число> 0).
    Запишіть укладає нерівність загального визначення | (3n +1) / (n +2) -1 |
    не виконаються вже при n = 2, так як виникає нерівність 1

  5. Завдання безпосереднього обчислення границі послідовності досить одноманітні. Всі вони містять відносини поліномів щодо n або ірраціональних виразів щодо цих поліномів. Приступаючи до рішення, винесіть за дужки (знак радикала) складову, що знаходиться в старшій ступеня. Нехай для чисельника вихідного висловлювання це призведе до появи множника a ^ p, а для знаменника b ^ q. Очевидно, що всі залишилися складові мають вигляд С / (nk) і прагнуть до нуля при n> k (n прямує до нескінченності). Після цього запишіть відповідь:
    0, якщо p q.
        
  6. Зазначимо не традиційний спосіб знаходження межі послідовності і нескінченних сум. Будемо використовувати функціональні послідовності (їх члени функції, визначені на деякому проміжку (a, b)).
    Приклад 3. Знайти суму виду 1 +1 / 2! +1 / 3! + … +1 / N! + … = S.
    Рішення. Будь-яке число а ^ 0 = 1. Покладіть 1 = exp (0) і розгляньте функціональну послідовність
    {1 + x + x ^ 2/2! + X ^ 3/3! + … + X ^ / n!}, N = 0,1,2, .., n …. Легко помітити, що записаний поліном співпадає з многочленом Тейлора за ступенями x, який в даному випадку співпадає з exp (x). Візьміть х = 1. Тоді
    exp (1) = e = 1 +1 +1 / 2! +1 / 3! + … +1 / N! + … = 1 + s. Відповідь s = e-1.