Як знаходити межі


 

Як правило, вивчення методології обчислення меж починають з вивчення меж дрібно-раціональних функцій. Далі розглядаються функцій ускладнюються, а також розширюється набір правил і способів роботи з ними (наприклад, правило Лопіталя). Однак не варто забігати вперед, краще, не змінюючи традиції, розглянути питання про межі дрібно-раціональних функцій.



Інструкція

  1. Слід нагадати, що дрібно-раціональної називається функція, що представляє собою відношення двох раціональних функцій: R (x) = Pm (x) / Qn (x).
    Тут Pm (x) = a0x ^ m + a1x ^ (m-1) + … + a (m-1) x + am; Qn (x) = b0x ^ n + b1x ^ (n-1) + … + b (n-1) x + bn
        
  2. Розгляньте питання про межу R (x) на нескінченності. Для цього перетворіть вид Pm (x) і Qn (x).
        

  3. Як знаходити межі

                            При х, яка прагне до нескінченності, все межі виду 1 / x ^ k (k> 0) звертаються в нуль. Те ж саме можна сказати про Qn (x). Залишилося розібратися з межею відносини (x ^ m) / (x ^ n) = x ^ (mn) на нескінченності. Якщо n> m, він дорівнює нулю, якщо n


  4. Як знаходити межі

                            Тепер слід припустити, що x прагне до нуля. Якщо застосувати підстановку y = 1 / x і, вважаючи, що an і bm відмінні від нуля, то вийде, що при x, що прагне до нуля, y прагне до нескінченності. Після нескладних перетворень, які ви можете легко виконати самостійно), стає ясно, що правило знаходження межі набуває вигляду (див. рис. 2).
  5. Більш серйозні завдання виникають при пошуку меж, в яких аргумент прагне до числових значень, де знаменник дробу дорівнює нулю. Якщо в цих точках чисельник також дорівнює нулю, то виникають невизначеності типу [0/0], інакше в них знаходиться устранімим розрив, і межа буде знайдений. В іншому випадку він не існує (в тому числі і дорівнює нескінченності).
  6. Методологія пошуку межі в даній ситуації наступна. Відомо, що будь-многочлен можна представити у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників, причому квадратичні множники завжди відмінні від нуля. Лінійні завжди перепишуть у вигляді кx + c = k (xa), де a =-c / k.
  7. При цьому відомо, що якщо х = a — корінь многочлена Pm (x) = a0x ^ m + a1x ^ (m-1) + … + a (m-1) x + am (тобто рішення рівняння Pm (x) = 0), то Pm (x) = (xa) P (m-1) (x). Якщо при цьому x = a і корінь Qn (х), то Qn (x) = (xa) Q (n-1) (x). Тоді R (x) = Pm (x) / Qn (x) = P (m-1) (x) / Q (n-1) (x).
  8. Коли x = a більше не є коренем хоча б одного з знову отриманих многочленів, то завдання пошуку меж вирішена і lim (x → a) (Pm (x) / Qn (x)) = P (m-1) (a) / Qn (a). Якщо ні, то запропоновану методику слід повторювати аж до усунення невизначеності.