Як знаходити найменше значення функції

Як знаходити найменше значення функції

Дослідження функції допомагає не тільки в побудові графіка функції, але іноді дозволяє витягти корисну інформацію по функції, не вдаючись до її графічного зображення. Так необов’язково будувати графік, щоб знайти найменше значення функції на тому чи іншому відрізку.

Інструкція

  1. Нехай задано рівняння функції y = f (x). Функція неперервна і визначена на відрізку [a; b]. Треба знайти найменше значення функції на цьому відрізку. Розглянемо, наприклад, функцію f (x) = 3x ² + 4x ³ + 1 на відрізку [-2; 1]. Наша f (x) неперервна і визначена на всій числовій прямій, а значить і на заданому відрізку.
  2. Знайдіть першу похідну функції по змінній х: f ‘(x). У нашому випадку отримаємо: f ‘(x) = 3 * 2x + 4 * 3x ² = 6x + 12x ².
  3. Визначте точки, в яких f ‘(x) дорівнює нулю або не може бути визначена. У нашому прикладі f ‘(x) існує для всіх x, прирівняємо її нулю: 6x + 12x ² = 0 або 6x (1 + 2x) = 0. Очевидно, що твір звертається в нуль, якщо x = 0 або 1 + 2х = 0. Отже, f ‘(x) = 0 при x = 0, х = -0,5.
  4. Визначте серед знайдених точок ті, що належать заданому відрізку [a; b]. У нашому прикладі обидві точки належать відрізку [-2; 1].
  5. Залишилось обчислити значення функції в точках обнулення похідної, а також на кінцях відрізка. Найменше з них буде найменшим значенням функції на відрізку.

    Обчислимо значення функції при x = -2, -0,5, 0 і 1.

    f (-2) = 3 * (-2) ² + 4 * (-2) ³ + 1 = 12 — 32 + 1 = -19

    f (-0,5) = 3 * (-0,5) ² + 4 * (-0,5) ³ + 1 = 3 / 4 — 1 / 2 + 1 = 1,25

    f (0) = 3 * 0 ² + 4 * 0 ³ + 1 = 1

    f (1) = 3 * 1 ² + 4 * 1 ³ + 1 = 3 + 4 + 1 = 8

    Таким чином, найменшим значенням функції f (x) = 3x ² + 4x ³ + 1 на відрізку [- 2; 1] є f (x) = -19, воно досягається на лівому кінці відрізка.