Як знаходити проміжки зростання та спадання


 

Функція y = f (x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для довільних х2> x1 f (x2)> f (x1). Якщо ж при цьому f (х2)
Проміжки зростання та спадання називають проміжками монотонності функції. Графік зростаючої функції піднімається «вгору» в міру зростання аргументу х і опускається «вниз» при її убуванні.


Вам знадобиться

— папір;
- Ручка.

Інструкція

  1. Відомо, що для зростаючої функції y = f (x) її похідна f ‘(x)> 0 і відповідно f’ (x)

    Отже, алгоритм дослідження функції на монотонність перед вами. Тепер слід розглянути приклади.
        

  2. Приклад: знайдіть проміжки монотонності y = (x ^ 3) / (4-x ^ 2).

    Рішення. Функція визначена на всій числовій осі, крім х = 2 і х = -2. Кормі того вона непарна. Дійсно, f (-x) = ((-x) ^ 3) / (4 — (-x) ^ 2) = — (x ^ 3) / (4-x ^ 2) = f (-x).

    Це означає, що f (x) симетрична відносно початку координат. Тому дослідження поведінку функції можна зробити тільки для позитивних значень х, а потім добудувати негативну гілку симетрично позитивною.

    y ‘= (3 (x ^ 2) (4-x ^ 2) +2 x (x ^ 3)) / ((4-x ^ 2) ^ 2) = (x ^ 2) (12-x ^ 2) / ((4-x ^ 2) ^ 2).

    y ‘- не існує при x = 2 та x = -2, але при цьому не існує і сама функція.


  3. Як знаходити проміжки зростання та спадання

                            Тепер необхідно знайти інтервали монотонності функції. Для цього слід вирішити нерівність:
                       (X ^ 2) (12-x ^ 2) / ((4-x ^ 2) ^ 2)> 0 або (x ^ 2) (x-2sqrt3) (x +2 sqrt3) ((x-2) ^ 2) ((x +2) ^ 2))
    тому що нерівність суворе, то знаменник можна записати в чисельник — на знак вони впливають однаково.

    Позначте нулі вирази на числовий прямий, враховуючи, що при проходженні нулів дужок, що знаходяться в парному ступеня знакочередованій не відбувається. При цьому за умовами задачі досить визначити інтервали, де х> 0. Використовуйте метод інтервалів, при вирішенні нерівності. Тоді вийде (див. рис.1).
        

  4. Далі розгляньте поведінку функції на інтервалах монотонності, приєднуючи сюди всі відомості з області негативних значень числової осі (в силу симетрії всі відомості там назад, в тому числі і за знаком).

    f ‘(x)> 0 при — ∞

  5. Приклад 2. Знайти проміжки зростання та спадання функції y = x + lnx / x.

    Рішення. Область визначення функції — x> 0.

    y ‘= 1 + (1-lnx) / (x ^ 2) = (x ^ 2 +1- lnx) / (x ^ 2).
    Знак похідної при x> 0 повністю визначається дужкою (x ^ 2 +1- lnx).
    Так як x ^ 2 +1> lnx, то y ‘> 0. Таким чином, функція зростає на всій своїй області визначення.


  6. Як знаходити проміжки зростання та спадання

                            Приклад 3. Знайти інтервали монотонності функції y ‘= x ^ 4-2x ^ 2-5.

    Рішення. y ‘= 4x ^ 3-4x = 4x (x ^ 2-1) = 4x (x-1) (x +1). Застосовуючи метод інтервалів (див. рис.2), необхідно знайти проміжки позитивних і негативних значень похідної.

    Використовуючи метод інтервалів, ви зможете швидко визначити, що на проміжках x0 функція зростає.