Як знаходити сторони трикутника

Як знаходити сторони трикутника

Щоб знаходити сторони трикутника, необхідно знати довжини двох сторін і величину одного кута. Або навпаки — довжину одного боку і величини двох кутів. Величину третього кута легко розрахувати з рівності суми кутів трикутника 180 градусів.

Інструкція

  1. По двох сторонах і куту між ними

    Якщо відомі довжини двох сторін трикутника і величина кута між ними, то знайти довжину третьої сторони можна скориставшись теоремою косинусів: квадрат довжини сторони трикутника дорівнює сумі квадратів довжин двох його інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними.

    Звідси маємо:

    з = √ (а ² + b ²-2аb * cosC), де

    а і b — довжини відомих сторін,

    С — величина кута, укладеного між цими сторонами (протилежного шуканої стороні),

    с — довжина шуканої сторони.

    Приклад 1.

    Дан трикутник зі сторонами 10 см і 20 см і кутом між ними рівним 60 градусів. Знайти довжину сторони.

    Рішення.

    За вищенаведеною формулою отримуємо:

    з = √ (10 ² +20 ² -2 * 10 * 20 * cos60 º) = √ (500-200) = √ 300 ~ 17,32

    Відповідь: довжина сторони трикутника, противолежащей сторонам довжинами 10 і 20 сантиметрів і величиною кута між ними 60 º — ~ 17,32 см.
  2. За двома кутами і стороні

    Якщо відомі величини двох кутів і довжина однієї сторін трикутника, то довжини двох інших сторін найзручніше знаходити скориставшись теоремою синусів: ставлення синусів кутів трикутника до довжин протилежних сторін рівні між собою.

    sinA / a = sinB / b = sinC / с, де:

    a, b, c — довжини сторін трикутника, а A, B, C — величини протилежних кутів.

    Які саме кути трикутника відомі — не важливо, тому що, скориставшись тим фактом, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, можна легко дізнатися величину невідомого кута.

    Тобто, наприклад, якщо відомі величини кутів А і С і довжина сторони а, то довжина сторони с буде:

    з = а * sinC / sinA
  3. Якщо за таких самих вихідних даних необхідно знайти довжину сторони b, то щоб скористатися теоремою синусів, потрібно знати величину кута В:

    так як В = 180 º-А-С, то довжина сторони b можна буде знайти за формулою:

    b = a * sin (180 º-А-С) / sinA

    Приклад 2.

    Нехай у трикутнику ABC відомі довжина сторони а = 10 см і величини кутів А = 30 і С = 20. Знайти довжину сторони b.

    Рішення: за отриманою вище формулі отримуємо:

    b = 10 * sin (180 º -30 º -20 º) / sin30 º = 10 * sin130 º / 0,5 = 5 * sin130 º ~ 3,83

    Відповідь: довжина сторони трикутника ~ 3,83 см.