Як знаходити вершини функції


 

Для функцій (точніше їх графіків) використовується поняття найбільшого значення, в тому числі і локального максимуму. Поняття ж «вершина» швидше пов’язано з геометричними фігурами. Точки максимумів гладких функцій (що мають похідну) легко визначити за допомогою нулів першої похідної.



Інструкція

  1. Для точок, в яких функція не дифференцируема, але безупинна, найбільше на проміжку значення може мати вигляд вістря (на приклад y = — | x |). В таких точках до графіка функції можна провести як завгодно багато дотичних і похідна для неї просто не існує. Самі функції такого типу зазвичай задаються на відрізках. Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називаються критичними.
        
  2. Отже, для знаходження точок максимумів функції y = f (x) слід:
    - Знайти критичні точки;
    - Для того щоб вибрати точку максимуму, слід знайти знак похідної в околі критичної точки. Якщо при проходженні точки відбувається чергування знака з «+» на «-», то має місце максимум.
        

  3. Як знаходити вершини функції

                            Приклад. Знайти найбільші значення функції (див. рис.1).
    y = x +3 при x ≤ -1 і y = ((x ^ 2) ^ (1/3))-х при x> -1.
        
  4. Рееніе. y = x +3 при x ≤ -1 і y = ((x ^ 2) ^ (1/3))-х при x> -1. Функція задана на відрізках умисно, так як в даному випадку переслідується мета відобразити все в одному прикладі. Легко перевірити, що при х = -1 функція залишається безперервною.

    y ‘= 1 при x ≤ -1 і y’ = (2/3) (x ^ (-1 / 3)) -1 = (2-3 (x ^ (1/3)) / (x ^ (1/3)) при x> -1.

    y ‘= 0 при x = 8/27. y ‘не існує при x = -1 і x = 0.

    При цьому y ‘> 0 якщо x8/27.

    Чергування знака производно з «+» на «-» відбувається при проходженні х = -1 і х = 8/27. Тому це ті точки, в яких функція досягає максимумів. Значення функції в максимумах одно: y (-1) = 2, y (8/27) = 4/27.