Як знайти алгебраїчні доповнення матриці

Як знайти алгебраїчні доповнення матриці
 

Алгебраїчні доповнення — це одне з понять матричної алгебри, що застосовується до елементів матриці. Знаходження алгебраїчних доповнень є одним з дій алгоритму визначення зворотної матриці, а також операції матричного розподілу.



Інструкція

  1. Матрична алгебра є не тільки найважливішим розділом вищої математики, а й сукупністю методів вирішення різних прикладних задач шляхом складання лінійних систем рівнянь. Матриці застосовуються в економічній теорії та в побудові математичних моделей, наприклад, в лінійному програмуванні.
        
  2. Лінійна алгебра описує і вивчає безліч операцій над матрицями, включаючи підсумовування, множення і ділення. Остання дія умовно, вона фактично є множенням на матрицю, зворотну до другої. Тут-то і проходять на допомогу алгебраїчні доповнення елементів матриці.
        
  3. Поняття алгебраїчного доповнення безпосередньо випливає з двох інших фундаментальних визначень матричної теорії. Це визначник і мінор. Визначником квадратної матриці називається число, яке виходить за наступною формулою виходячи із значень елементів:
    Δ = a11 • a22 — a12 • a21.
        

  4. Як знайти алгебраїчні доповнення матриці

                            Мінор матриці — це її визначник, порядок якого на одиницю менше. Мінор-якого елементу виходить шляхом видалення з матриці рядка і стовпця, відповідних номерами позиції елемента. Тобто мінор матриці M13 буде рівнозначний визначник, отриманому після викреслювання першого рядка і третього стовпця:
    M13 = a21 • a32 — a22 • a31.
        
  5. Щоб знайти алгебраїчні доповнення матриці, необхідно визначити відповідні мінори її елементів з певним знаком. Знак залежить від того, в якій позиції стоїть елемент. Якщо сума номерів рядка та стовпця — парне число, то алгебраїчне доповнення буде позитивним числом, якщо непарне — негативним. Тобто:
    Aij = (-1) ^ (i + j) • Mij.
        

  6. Як знайти алгебраїчні доповнення матриці

                            Приклад.
    Обчисліть алгебраїчні доповнення.
        

  7. Як знайти алгебраїчні доповнення матриці

                            Рішення:
    A11 = 12 — 2 = 10;
    A12 = — (27 + 12) = -39;
    A13 = 9 + 24 = 33;
    A21 = — (0 — 8) = 8;
    A22 = 15 + 48 = 63;
    A23 = — (5 — 0) = -5;
    A31 = 0 — 32 = -32;
    A32 = — (10 — 72) = 62;
    A33 = 20 — 0 = 20.