Як знайти алгебраїчні доповнення


 

Алгебраїчне доповнення — елемент матричної або лінійної алгебри, одне з понять вищої математики поряд з визначником, мінором і зворотного матрицею. Однак незважаючи на гадану складність, знайти алгебраїчні доповнення неважко.



Інструкція

  1. Матрична алгебра, як розділ математики, має велике значення для запису математичних моделей в більш компактній формі. Наприклад, поняття визначника квадратної матриці прямо пов’язане з перебуванням рішення систем лінійних рівнянь, які використовуються в безлічі прикладних задач, у тому числі по економіці.

  2. Визначник матриці

                            Алгоритм знаходження алгебраїчних доповнень матриці тісно пов’язаний з поняттями мінору і визначника матриці. Визначник матриці другого порядку обчислюється за формулою:
    Δ = a11 · a22 — a12 · a21.
        

  3. Мінор елемента матриці

                            Мінор елемента матриці порядку n — це визначник матриці порядку (n-1), який виходить шляхом видалення рядка і стовпця, відповідних позиції цього елемента. Наприклад, мінор елемента матриці, що стоїть в другому рядку, третьому стовпці:
    M23 = a11 · a32 — a12 · a31.
  4. Алгебраїчне доповнення елемента матриці — це мінор елемента зі знаком, який знаходиться в прямій залежності від того, яку позицію елемент займає в матриці. Іншими словами, алгебраїчне доповнення одно мінору, якщо сума номера рядка і стовпця елемента — парне число, і протилежно йому по знаку, коли цього число — непарне:
    Aij = (-1) ^ (i + j) · Mij.

  5. Як знайти алгебраїчні доповнення

                            Приклад.
    Знайдіть алгебраїчні доповнення для всіх елементів заданої матриці.
        

  6. Як знайти алгебраїчні доповнення

                            Рішення.
    Використовуйте наведену формулу для обчислення алгебраїчних доповнень. Будьте уважні при визначенні знака і записи визначників матриці:
    A11 = M11 = a22 · a33 — a23 · a32 = (0 — 10) = -10;
    A12 =-M12 = — (a21 · a33 — a23 · a31) = — (3 — 8) = 5;
    A13 = M13 = a21 · a32 — a22 · a31 = (5 — 0) = 5;
        
  7. A21 =-M21 = — (a12 · a33 — a13 · a32) = — (6 + 15) = -21;
    A22 = M22 = a11 · a33 — a13 · a31 = (3 + 12) = 15;
    A23 =-M23 = — (a11 · a32 — a12 · a31) = — (5 — 8) = 3;
        
  8. A31 = M31 = a12 · a23 — a13 · a22 = (4 + 0) = 4;
    A32 =-M32 = — (a11 · a23 — a13 · a21) = — (2 + 3) = -5;
    A33 = M33 = a11 · a22 — a12 · a21 = (0 — 2) = -2.