Як знайти асимптоти функції


 

Повне дослідження функції та побудова її графіка припускають цілий спектр дій, включаючи знаходження асимптот, які бувають вертикальними, похилими і горизонтальними.


Інструкція

  1. Асимптоти функції застосовуються для полегшення побудови її графіка, а також дослідження властивостей її поведінки. Асимптота — це пряма лінія, до якої наближається нескінченна гілка кривої, заданої функцією. Розрізняють вертикальні, похилі і горизонтальні асимптоти.
      
  2. Вертикальні асимптоти функції паралельні осі ординат, це прямі виду x = x0, де x0 — гранична точка області визначення. Граничної називається точка, в якій односторонні межі функції є нескінченними. Для того, щоб знайти асимптоти цього роду, потрібно досліджувати її поведінку, обчисливши межі.
      
  3. Знайдіть вертикальну асимптоту функції f (х) = х ² / (4 • х ² — 1). Для початку визначте її область визначення. Це може бути тільки значення, при якому знаменник звертається в нуль, тобто вирішите рівняння 4 • х ² — 1 = 0 → х = ± 1/2.
  4. Обчисліть односторонні межі:
    lim_ (х → -1 / 2) х ² / (4 • х ² — 1) = lim х ² / ((2 • х — 1) • (2 • х + 1)) = + ∞.
    lim_ (х → 1/2) х ² / (4 • х ² — 1) = — ∞.
  5. Таким чином, ви з’ясували, що обидва односторонніх межі є нескінченними. Отже, прямі х = 1/2 і х = -1 / 2 є вертикальними асимптотами.
      
  6. Похилі асимптоти — це прямі виду k • х + b, в яких k = lim f / х і b = lim (f — k • х) при х → ∞. Така асимптота стане горизонтальною при k = 0 і b ≠ ∞.
  7. Дізнайтеся, чи має функція з попереднього прикладу похилі або горизонтальні асимптоти. Для цього визначте коефіцієнти рівняння прямої асимптоти через наступні межі:
    k = lim (х ² / (4 • х ² — 1)) / х = 0;
    b = lim (х ² / (4 • х ² — 1) — k • х) = lim х ² / (4 • х ² — 1) = 1/4.
  8. Отже, у цій функції є і похила асимптота, а оскільки виконується умова нульового коефіцієнта k і b, не рівного нескінченності, то вона горизонтальна.
    Відповідь: функція х ² / (4 • х ² — 1) має дві вертикальні x = 1/2; x = -1 / 2 і одну горизонтальну у = 1/4 асимптоти.